基本结构–角平分线，垂直平分线，角度为60°

在几何学中，角平分线和垂直平分线都是重要的基本结构，它们在许多几何问题中都有着重要的作用。本文将介绍这些基本结构以及如何使用角度为60°的角来构造它们。

角平分线

角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线，其定义如下图所示：

在上图中，$AD$ 是角 $BAC$ 的平分线。$AD$ 将角 $BAC$ 分成了两个相等的角 $\angle BAD$ 和 $\angle CAD$。

在计算机程序中，我们可以使用向量和三角函数来计算角平分线。以下是一个计算角平分线的伪代码片段：

// 计算角平分线
function angle_bisector(A, B, C):
  AB = B - A  // 向量 AB
  AC = C - A  // 向量 AC
  angle = angle_between(AB, AC)  // 向量 AB 和 AC 之间的夹角
  BD = (AB / length(AB)) + (AC / length(AC))  // BD = AB/|AB| + AC/|AC|
  return A + BD * (1 / cos(angle/2))  // 返回平分线上的点 D

垂直平分线

垂直平分线是指将一个线段垂直平分的直线，其定义如下图所示：

在上图中，$CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线。$CD$ 将线段 $AB$ 平分成两个长度相等的线段 $AC$ 和 $CB$。

类似于角平分线，我们在计算机程序中也可以使用向量和三角函数来计算垂直平分线。以下是一个计算垂直平分线的伪代码片段：

// 计算垂直平分线
function perpendicular_bisector(A, B):
  AB = B - A  // 向量 AB
  mid = (A + B) / 2  // AB 的中点
  normal = vec2(-AB.y, AB.x)  // AB 的法向量
  return line(mid, mid + normal)  // 返回垂直平分线

角度为60°的角

在计算角平分线和垂直平分线时，角度为60°的角具有特殊性质。在正三角形中，三个角都是60°，因此可以使用正三角形中的线段来构造角平分线和垂直平分线。

以下是一个根据一个点和一个角度为60°的角构造垂直平分线的伪代码片段：

// 构造垂直平分线
function construct_perpendicular_bisector(center, radius):
  A = center + vec2(0, -radius)
  B = center + vec2(0, radius)
  return perpendicular_bisector(A, B)  // 使用垂直平分线的计算函数

以下是一个根据三个点和一个角度为60°的角构造角平分线的伪代码片段：

// 构造角平分线
function construct_angle_bisector(A, B, C, angle):
  AB = B - A  // 向量 AB
  AC = C - A  // 向量 AC
  BC = C - B  // 向量 BC
  r = length(AB) / (2 * sin(angle/2))  // 圆的半径
  I = B + ((r / length(BC)) * BC)  // 圆心
  return angle_bisector(A, B, I)  // 使用角平分线的计算函数

总之，角平分线和垂直平分线是几何学中的基本结构，在计算机程序中有着广泛的应用。使用角度为60°的角可以方便地构造这些结构，为解决许多几何问题提供了方便的工具。