如何找到数字的平方根？

在日常情况下，都会面临计算数字平方根的挑战。如果一个人无法使用计算器或任何其他小工具怎么办？它可以用老式的纸和铅笔以长除法的方式完成。是的，有多种方法可以做到这一点。让我们首先讨论平方根及其属性。

什么是平方根？

平方根是一个值，它给出了与自身相乘的原始数字。例如，6 乘以自身得到 36（即 6 × 6 = 36），因此，6 是 36 的平方根，或者换句话说，36 是 6 的平方数。

Suppose, a is the square root of b, then it is represented as,

a = √b or  

a² = b

Let the square of 2 is 4 so the square root of 4 will be 2 i.e. 

√4 = 2

以下是前 50 位数字的平方根：

Square Root	Value	Square Root	Value
√1	1	√26	5.0990
√2	1.4142	√27	5.1962
√3	1.7321	√28	5.2915
√4	2	√29	5.3852
√5	2.2361	√30	5.4772
√6	2.4495	√31	5.5678
√7	2.6458	√32	5.6569
√8	2.8284	√33	5.7446
√9	3	√34	5.8310
√10	3.1623	√35	5.9161
√11	3.3166	√36	6
√12	3.4641	√37	6.0828
√13	3.6056	√38	6.1644
√14	3.7417	√39	6.2450
√15	3.8730	√40	6.3246
√16	4	√41	6.4031
√17	4.1231	√42	6.4807
√18	4.2426	√43	6.5574
√19	4.3589	√44	6.6332
√20	4.4721	√45	6.7082
√21	4.5826	√46	6.7823
√22	4.6904	√47	6.8557
√23	4.7958	√48	6.9282
√24	4.8990	√49	7
√25	5	√50	7.0711

因此，正数平方的平方根给出原始数。但是，负数的平方根表示复数。

平方根的性质

• 如果一个数字是一个完美的平方，那么一个完美的平方根总是存在的。
• 4 的平方根是 2，16 的平方根是 4。所以我们可以得出结论，一个偶数完全平方的平方根是偶数。
• 9 的平方根是 3，81 的平方根是 9。所以我们可以得出结论，奇完全平方的平方根是奇数。
• 完美的平方不能是负数，因此负数的平方根没有定义。
• 从以上几点可以得出结论，以（具有个位）1、4、5、6或9结尾的数字将具有平方根。
• 如果多个结尾有偶数个零（0），那么它可以有一个平方根。
• 如果一个数字的个位是 2、3、7 或 8，则不可能有完美的平方根。
• 如果数以 2、3、7 或 8（在个位数中）结尾，则不存在完美平方根。
• 这两个平方根值可以相乘。例如，√5可以乘以√2，那么结果应该是√10。
• 两个相同的平方根相乘得到一个非平方根数。当 √5 乘以 √5 时，我们得到 5 作为结果。

完美广场

可以表示为两个相同整数的乘积的数称为完全平方。完美的正方形是可以通过对任何整数进行平方得到的数字。

e.g.: 

9 is a perfect square because it is the product of two equal integers, 3 × 3 = 9. 

However, 10 is not a perfect square because it cannot be expressed as the product of two equal integers. (5 × 2 = 10). 

Thus, a perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself.

The numbers that are perfect squares are mentioned below, and finding the square roots of those numbers is easy. Here are few examples of square roots:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

As a result, the complete squares are 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, and 100. 

求数的平方根的方法

要确定一个给定的数是完全平方还是不完全平方，我们必须首先确定它是完全平方还是不完全平方。如果数字是一个完美的平方，比如 4、9、16 等，我们将使用素数分解过程对其进行因式分解。如果数是不完全平方，如 2、3、5 等，我们必须使用长除法求根。

1. 重复减法
2. 素数分解法
3. 除法

1.重复减法

已知前 n 个奇数自然数之和为 n ² 。我们将通过多次减去整数来计算整数的平方根。让我们考虑一个例子，看看这种方法是如何工作的。假设您应该找到 25 的平方根，即 √25。步骤如下：

让我们考虑以下示例来了解确定平方根的重复减法方法。

示例 1：使用重复减法确定 25 的平方根。
解决方案：

Since, 25 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 25 is:

• 25 – 1 = 24
• 24 – 3 = 21
• 21 – 5 = 16
• 16- 7 = 9
• 9 – 9 = 0

Here it takes five steps to get the 0. 

Hence, the square root of 25 is 5.

示例 2：使用重复减法确定 16 的平方根。
解决方案：

Since, 16 is an even number. Therefore, the steps to find the square root of 16 is:

• 16 – 4 = 12
• 12 – 4 = 8
• 8 – 4 = 4

Here it takes four steps to get the 0. 

Hence, the square root of 16 is 4.

例 3：用重复减法求 49 的平方根。

解决方案：

Since, 49 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 49 is:

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 -13 = 0

Here it takes seven steps to get the 0. 

Hence, the square root of 49 is 7.

2. 素数分解法

素数分解方法涉及将数字表示为其素数的函数。该数字的平方根由每对相等质因数中的一个元素的乘积给出。这种方法也可以用来确定给定的数字是否是完美的正方形。但是，此方法不能用于求非完全平方十进制数的平方根。

e.g.: The prime factors of 126 will be 2, 3 and 7 as 2 × 3 × 3 × 7 = 126 and 2, 3, 7 are prime numbers.

• 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2² × 2² = √16 = 4
• 25 = 5 × 5 = 5² = √25 = 5
• 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = √64 = 8

3.划分方法

当整数足够大时，利用长除法很容易得到完美平方的平方根，因为通过因式分解得到它们的平方根变得冗长而复杂。为了克服这个问题，开发了一种求平方根的新方法。这种方法基本上使用平方小于或等于被除数的除数的除法运算。

以下是划分方法的步骤：

第一步：取要求平方根的数。从单位的位置（最右侧）开始，在每对数字的数字上放置一个横条。

第 2 步：让我们将最左边的数字除以平方小于或等于最左边条形下方的数字的最大数字。取这个数作为除数和商。最左边栏下的数字被认为是股息。

第 3 步：除以得到数字。将余数右侧下一个栏下的数字记下来。

第 4 步：将除数加倍（或将除数与自身相加）。在这个除数的右边找到一个合适的数字，它与除数一起形成新除数的新除数。商中的新数字将与除数中选择的数字相同。条件与小于或等于股息的条件相同。

第5步：继续这个过程，直到我们得到零作为余数。这样获得的商将是数字的平方根。

让我们考虑以下示例来了解确定平方根的除法方法。

例 1：用除法求 144 的平方根。

解决方案：

The steps to determine the square root of 144 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give as,

Step 3: Now it is required to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: Therefore, check when 2x multiplies by x give a number of less than or equal to 44. Take x = 1, 2, 3, and so on and check.

In this case,

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44

So we choose x = 2 as the new digit to be put in the divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 12 is the square root of 144.

例 2：用除法求 196 的平方根。

解决方案：

The steps to determine the square root of 196 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x give a number less than or equal to 96. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case, 

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96

So, choose x = 4  as the new digit to be put in divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 14 is the square root of 196.

例 2：用除法求 225 的平方根。

解决方案：

The steps to determine the square root of 225 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1. 

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x. 

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x gives a number which is either less than or equal to 125. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case,

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96
• 25 × 5 = 125

So we choose x = 5 as the new digit to be put in divisor and in the quotient. 

The remainder here is 0 and hence 15 is the square root of 225.

4. 复数的平方根

要计算复数的平方根，假设根是 ea + ib。然后将其与原始数字进行比较以获得 a 和 b 的值，从而产生平方根。

设 a + ib 是复数，因此可以使用以下公式求 a + ib 的平方根

$\sqrt{a+ib} = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

让我们考虑以下示例来了解复数平方根的确定。

示例 1：求 6 – 8i 的平方根。

解决方案：

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$\sqrt{a+ib} = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 6 and b = (-8) in the above formula,

$\begin{aligned}\sqrt{6-8i}&=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{6^2+(-8)^2}+6}{2}}+i\dfrac{-8}{|-8|}\sqrt{\dfrac{\sqrt{6^2+(-8)^2}-6}{2}}\\&=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{100}+6}{2}}-i\left(\dfrac{8}{8}\right)\sqrt{\dfrac{\sqrt{100}-6}{2}}\\&=\pm\sqrt{\dfrac{10+6}{2}}-i\sqrt{\dfrac{10-6}{2}}\\&=\pm\left(\sqrt{8}-i(\sqrt{2}\right)\\&=\pm(2\sqrt{2}-i\sqrt{2})\end{aligned}$

which is the required solution.

示例 2：求 9 + 40i 的平方根。

解决方案 ：

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$\sqrt{a+ib} = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 9 and b = 40 in the above formula,

$\begin{aligned}\sqrt{9+40i}&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{9^2+{40}^2}+9}{2}}+i\dfrac{40}{|40|}\sqrt{\dfrac{\sqrt{9^2+(40)^2}-9}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{81+{1600}}+9}{2}}+i\left(\dfrac{40}{40}\right)\sqrt{\dfrac{\sqrt{81+1600}-9}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{1681}+9}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{1681}-9}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{50}{2}}+i\sqrt{\dfrac{32}{2}}\right)\\&=\pm(5+4i)\end{aligned}$

which is the required solution.

示例 3：求 3 + 4i 的平方根。

解决方案 ：

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$\sqrt{a+ib} = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\frac{b}{|b|}(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 3 and b = 4 in the above formula,

$\begin{aligned}\sqrt{3+4i}&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{3^2+{4}^2}+3}{2}}+i\dfrac{4}{|4|}\sqrt{\dfrac{\sqrt{3^2+4^2}-3}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{9+16}+3}{2}}+i\left(\dfrac{4}{4}\right)\sqrt{\dfrac{\sqrt{9+16}-3}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{25}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{25}-3}{2}}\right)\\&=\pm\left(\sqrt{\dfrac{5+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{5-3}{2}}\right)\\&=\pm(\sqrt{4}+i\sqrt{1})\\&=\pm(2+i)\end{aligned}$

which is the required solution.