总和值最大为 K 的最长递增子序列

简介

在一个给定的整数序列中，找到一个最长的子序列，满足这个子序列是递增的且其所有元素的和不超过给定的值 K。该问题称为“总和值最大为 K 的最长递增子序列”。

这个问题可以采用动态规划的思想来解决，具体方法是使用一个两维的矩阵 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 个元素结尾、总和值不大于 j 的最长递增子序列的长度。

算法

算法的具体实现如下：

def longest_increasing_subsequence(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
    res = 0
    
    for i in range(n):
        for j in range(k + 1):
            dp[i][j] = 1
            for m in range(i):
                if nums[m] < nums[i] and j >= nums[i] - nums[m]:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[m][j - nums[i] + nums[m]] + 1)
            if dp[i][j] > res:
                res = dp[i][j]
                
    return res

其中，nums 是一个整数序列，k 是给定的值，n 是序列的长度。在算法的实现中使用了三重循环，时间复杂度为 O(n^2 * k)，空间复杂度为 O(n * k)。

测试

考虑一个示例，如下所示：

nums = [1, 101, 2, 3, 100, 4, 5]
k = 106
res = longest_increasing_subsequence(nums, k)
print(res) # 4

这个示例中，给定的序列是 [1, 101, 2, 3, 100, 4, 5]，而 k 的值为 106。可以发现，该序列的最长递增子序列是 [1, 2, 3, 4]，其总和值为 10，不超过给定的值 k。因此，最长递增子序列的长度为 4，与函数的输出结果相同。

结论

总和值最大为 K 的最长递增子序列是一个实用的问题，使用动态规划的方法可以有效地解决。具体实现过程中，需要使用一个二维数组来存储中间结果，时间复杂度为 O(n^2 * k)，空间复杂度为 O(n * k)。