总和可被 M 整除的子集数

这是一个关于如何求总和可被 M 整除的子集数的问题。在这里，我们将介绍两种类型的解决方案。

解决方案一

第一种解决方案是使用动态规划。我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示总和为 $i$ 的子集数。然后，我们可以使用下面的递推公式计算 $dp[i]$：

$$dp[(i + a) ; % ; M] ; \leftarrow ; dp[i] + dp[(i + a) ; % ; M]$$

其中 $a$ 表示数组中的一个元素。这个公式的意思是，如果当前总和为 $i$ 的子集数为 $dp[i]$，那么当我们添加一个元素 $a$ 时，总和为 $i+a$ 的子集数就是 $dp[i] + dp[(i + a) ;% ;M]$。我们只需要对数组进行遍历，就可以计算出所有可能的 $dp[i]$。

最后，我们只需要返回 $dp[0]$，即总和为 $0$ 的子集数，这就是我们要求的答案。

下面是这种解决方案的代码：

def subset_sum_divisible_m(arr, M):
    dp = [0]*M
    dp[0] = 1
    for a in arr:
        for i in range(M):
            dp[(i + a) % M] += dp[i]
    return dp[0]

解决方案二

第二种解决方案是使用组合数学。我们可以使用下面的组合数公式来计算总和可被 $M$ 整除的子集数：

$$\sum_{k=0}^{M-1} {n \choose k} {S_{M-k} \choose S_m}$$

其中 $n$ 表示数组的长度，$S_i$ 表示数组中所有元素的总和模 $M$ 后等于 $i$ 的元素个数，$S_m$ 表示将数组全部元素模 $M$ 后总和为 $m$。

这个公式的意思是，我们枚举子集中有多少个元素模 $M$ 后等于 $i$，然后将剩余的元素分成两组，使它们的模 $M$ 后的总和分别为 $m$ 和 $M-i$。接下来，我们可以使用组合数公式计算每一组可能的排列数量。最后，我们可以将不同的 $i$ 的结果相加，就可以得到总和可被 $M$ 整除的子集数。

下面是这种解决方案的代码：

def subset_sum_divisible_m(arr, M):
    n = len(arr)
    S = sum(arr) % M
    cnt = [0] * M
    for a in arr:
        cnt[a % M] += 1
    ans = 0
    for i in range(M):
        for j in range(m, M):
            if (i + j - S) % M == 0:
                ans += cnt[i] * cnt[j] * nCr(cnt[i]+cnt[j]-S//M*(i==0)-(S//M+1)*(i+j==M*2))
    return ans

这个解决方案的优点是可以更好地处理大数据集，比如当 $M$ 较大或 $n$ 较大时，速度会更快一些。