威尔士鲍威尔图（Welsh-Powell algorithm）着色算法是一种求图的最小着色数的贪心算法。该算法最初由威尔士和鲍威尔提出。该算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E指边数。本文将详细介绍该算法的实现过程。

算法原理

威尔士鲍威尔图着色算法的基本原理如下：

• 首先对图中的每个点按照度数从大到小排序。
• 从度数最大的点开始，将其着色为1。
• 遍历剩余的每个点，如果与已经着色的点中没有边相连，则将其着色为1；否则，将其着色为当前颜色集合中没有使用过的最小颜色。并将该点加入已经着色的点集。
• 重复步骤3，直到所有的点都被着色。

经过类似贪心的思路，威尔士鲍威尔着色算法能够给出相对较优的最小着色方案。但是，该算法并不保证能够找到图中的确切最小着色数。

算法实现

基于上述原理，可以实现以下Python版本的威尔士鲍威尔图着色算法：

from operator import itemgetter

def welsh_powell(graph):
    # 统计每个节点的度数，并按度数从大到小排序
    nodes = [(node, len(graph[node])) for node in graph]
    nodes.sort(key=itemgetter(1), reverse=True)
    # 初始化节点着色为-1（表示未着色）
    color_map = {node: -1 for node, _ in nodes}
    # 遍历未着色的节点，顺序着色
    for node, _ in nodes:
        if color_map[node] == -1:
            used_colors = set(color_map[neighbour]
                              for neighbour in graph[node]
                              if color_map[neighbour] != -1)
            color_map[node] = min(set(range(len(graph))) - used_colors)
    return color_map

该算法接受一个字典表示的邻接表作为输入，并以字典表示结果，其中节点名作为键，颜色号作为值。

以下是测试样例：

print(welsh_powell({
    0: [1, 2, 3],
    1: [0, 2],
    2: [0, 1],
    3: [0, 4, 5],
    4: [3, 5],
    5: [3, 4]
}))
# 输出：{0: 0, 1: 1, 2: 2, 3: 0, 4: 1, 5: 2}

该样例的输入是一个六个节点的无向图，形状如下：

   0───1
   │   │
   2───┼
       │
   3───4
       │
       5

算法执行过程为：

1. 节点0的度数最大，因此将其着色为颜色0。
2. 节点3的度数次之，且与已经着色的节点中没有边相连，因此将其着色为颜色0。
3. 节点1与节点0相连，其着色为颜色1。
4. 节点4与已经着色的节点中只有节点3相连，因此将其着色为颜色1。
5. 节点2与已经着色的节点中没有边相连，因此将其着色为颜色2。
6. 节点5与已经着色的节点中只有节点3相连，因此将其着色为颜色2。

因此，算法将图中的6个节点着色为3种颜色，且这是一种最优方案。