弦图的着色

弦图是一类特殊的图，具有许多独特的性质。其中之一就是它的着色问题。本文将介绍什么是弦图、弦图的基本概念、弦图的特殊性质以及如何在弦图上进行着色。

弦图的基本概念

弦图是一类特殊的无向图，满足任意长度大于3的环上都至少有两个非相邻的点相连。这个非常友好的定义使得判断一张图是否为弦图变得非常简单。可以通过搜索每个长度大于3的环，并检查环上距离大于1的两个点是否相邻来判断。

弦图的特殊性质

弦图有许多特殊的性质，其中一些性质使得它在算法研究中非常有用。以下是一些弦图的性质：

1. 每个极大团都是一个弦图
2. 每个最小团都有长度为3的环作为支配集
3. 一个图是弦图当且仅当它的每个极大团都是一个最小团

弦图的着色问题

在弦图上进行着色和在一般图上进行着色有些许不同。在一般图上，使用的最小颜色数取决于图的最大团的大小。在弦图上，仅需要最多使用最大团的大小加一种颜色即可进行着色。

证明如下：

• 弦图上的任意一个极大团都是一个最小团
• 因为一个最小团至少需要三种颜色来进行着色，所以一个极大团需要使用不超过三种颜色来进行着色
• 在极大团的补图中，每个顶点的相邻点构成了一个团，因此弦图的最大团的大小等于极大团补图中的最小团大小加一
• 最大团的补图是一个独立集，因此最多需要使用最大团的大小加一种颜色来进行着色

因此在实际实现中可以先求出弦图的最大团，然后使用最大团的大小加一种颜色即可进行着色。

代码实现

需要计算弦图上的最大团，可以使用经典的 Bron–Kerbosch 算法。着色可以使用贪心算法进行实现。

def bron_kerbosch(graph, r=set(), p=set(), x=set()):
    if not p and not x:
        yield r
    for v in p:
        yield from bron_kerbosch(graph, r | {v}, p & set(graph[v]), x & set(graph[v]))
        p.remove(v)
        x.add(v)


def chordal_coloring(graph):
    coloring = dict()
    max_clique = max(list(bron_kerbosch(graph)), key=len)
    for v in max_clique:
        adjacent_colors = set(coloring.get(adjacent_v, -1) for adjacent_v in graph[v])
        for color in range(len(max_clique)):
            if color not in adjacent_colors:
                coloring[v] = color
                break
    return coloring

以上是一个简单的 Python 实现，针对一般的图也适用。