最多两次买卖股票的最大利润

问题描述

给定一组股票价格，你可以进行最多两次买卖操作，请计算出最大的利润。

示例

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出: 6 解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入， 在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出， 再在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入， 在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出， 总利润 = (3-0) + (4-1) = 6。

解法

让我们考虑用动态规划的方式解决这个问题。需要三个状态来描述这个问题：

• buy1，第一次买入的最大利润；
• sell1，第一次卖出的最大利润；
• buy2，第二次买入的最大利润；
• sell2，第二次卖出的最大利润；

在每一天结束后，我们用以下方式更新这些变量：

• 对于第一次购买，只需要我们将当前价格的相反数加入其中，因为我们始终在此价格处将股票买入；
• 对于第一次卖出，我们将当前价格加入其中后，检查是否有更好的利润（即，购买日期早于当前日）；
• 对于第二次购买，我们将当前利润（即第一次卖出后的利润）减去当前价格后加入其中后，检查是否有更好的利润（即，购买日期早于当前日）；
• 对于第二次卖出，我们将当前利润（即第二次购买后的利润）加到其中后，检查是否有更好的利润。

最终，我们将返回 sell2，因为在最后一天，可以比之更大的利润量只能是再次购买并卖出。

代码实现

def max_profit(prices: List[int]) -> int:
    buy1, sell1 = float('inf'), 0
    buy2, sell2 = float('inf'), 0
    for price in prices:
        buy1 = min(buy1, price)
        sell1 = max(sell1, price - buy1)
        buy2 = min(buy2, price - sell1)
        sell2 = max(sell2, price - buy2)
    return sell2

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是股票价格序列的长度。
• 空间复杂度：$O(1)$，不需要额外的空间。