计算主教可到达的方格数

本文将介绍如何计算一个经典的国际象棋棋子——主教（Bishop）在给定 $N \times M$ 棋盘左上角能达到多少个方格。

算法思路

首先，我们需要找到该主教能到达的所有方格。主教可以沿着对角线走，因此可以得到以下规律：

1. 主教在棋盘上移动的步数不可能超过 $N+M-2$ 步。
2. 当主教移动 $k$ 步（$1 \leq k \leq N+M-2$）时，它可以位于 $(i, j)$ 处满足 $i+j=k+1$ 或者 $i-j=k-M-1$。

使用上述规律，可以得到主教能够到达的所有位置。我们可以用一个 Bool 类型的二维数组 $canReach$ 来表示主教能够到达的位置，则 $canReach_{i,j}$ 的值为 true 当且仅当主教可以到达位置 $(i,j)$。

接下来，我们只需要遍历 $canReach$ 数组，统计其中值为 true 的元素数目，即为主教可以到达的方格数。

算法实现

以下是算法的 Python 实现：

def countBishopReachableFields(N: int, M: int) -> int:
    canReach = [[False for j in range(M)] for i in range(N)]
    for k in range(1, N+M):
        for i in range(max(0, k-M), min(N, k)):
            j = k-i-1
            canReach[i][j] = True
            j = M-k+i
            if j >= 0 and j < M:
                canReach[i][j] = True
    count = sum([1 for i in range(N) for j in range(M) if canReach[i][j]])
    return count

算法分析

该算法的时间复杂度为 $O(NM)$，空间复杂度为 $O(NM)$。我们遍历 $canReach$ 数组的所有元素，因此时间复杂度为 $O(NM)$。我们需要使用二维数组 $canReach$ 来存储主教能够到达的位置，其大小为 $N \times M$，因此空间复杂度为 $O(NM)$。

总结

本文介绍了如何计算主教在给定 $N \times M$ 棋盘左上角可以到达的方格数，算法的时间复杂度为 $O(NM)$，空间复杂度为 $O(NM)$。