运输问题设置6(MODI方法-UV方法)

介绍

在运输问题中，有时需要利用一些算法来求解最优的运输方案。其中，MODI方法和UV方法都是比较常见的算法。MODI方法是一种求解最优解的方法，UV方法则是一种求解初始可行解的方法。本文将对这两种方法进行介绍，并给出相关的代码片段。

MODI方法

MODI方法是一种求解运输问题最优解的方法。它的基本思路是：在当前的最优解中，寻找一条使目标函数值增加最多的非基本变量达到基本变量的路径。该方法的步骤如下：

1. 求出最初的基本可行解，即行列所对应的单元格中都有分配量。
2. 根据当前的基本可行解，计算每个单元格的机会成本(cost)。
3. 选取机会成本最小的非基本单元格，以其所在行或列中的一格作为新的基本单元格，建立新的基本可行解。
4. 循环执行步骤2-3，直至求得最优解。

下面是MODI方法的Python代码片段：

def modi_method(cost_matrix, supply, demand):
    row_cnt, col_cnt = len(supply), len(demand)
    basic_vars = find_basic_vars(cost_matrix, supply, demand)
    basic_feasible_sol, uv = find_init_feasible_sol(cost_matrix, basic_vars, supply, demand)
    while True:
        opportunity_cost_matrix = compute_opportunity_cost_matrix(cost_matrix, uv)
        leaving_var, entering_var, is_optimum = find_entering_leaving_vars(opportunity_cost_matrix, basic_vars)
        if is_optimum:
            break
        basic_vars[leaving_var], basic_vars[entering_var] = basic_vars[entering_var], basic_vars[leaving_var]
        basic_feasible_sol = compute_basic_feasible_sol(basic_vars, supply, demand)
        uv = compute_uv(basic_feasible_sol, cost_matrix)
    return basic_feasible_sol

UV方法

UV方法是求解运输问题初始可行解的方法。它的基本思路是：给每一行或列都分配一个数值，使得这些数值的和与每一行或列的供给或需求量相等。具体的步骤如下：

1. 给每一行或列都分配一个初始的数值为0。
2. 根据这些初始数值和对应的供给或需求量，计算出每个单元格的机会成本(cost)。
3. 选取机会成本最小的单元格，以其所在行或列中的一格作为新的基本单元格，建立新的基本可行解。
4. 重新计算行或列的数值，使得这些数值的和与对应的供给或需求量相等。
5. 重复执行步骤2-4，直至得到初始可行解。

下面是UV方法的Python代码片段：

def uv_method(cost_matrix, supply, demand):
    row_cnt, col_cnt = len(supply), len(demand)
    basic_vars = find_basic_vars(cost_matrix, supply, demand)
    uv_row = [0] * row_cnt
    uv_col = [0] * col_cnt
    while True:
        opportunity_cost_matrix = compute_opportunity_cost_matrix(cost_matrix, [uv_row, uv_col])
        min_op_cost_row, min_op_cost_col = find_min_op_cost_row_col(opportunity_cost_matrix)
        if min_op_cost_row is None:
            break
        is_row_var, var_idx = select_entering_var(cost_matrix, min_op_cost_row, min_op_cost_col, basic_vars)
        basic_vars[is_row_var][var_idx] = supply[var_idx] if is_row_var else demand[var_idx]
        uv_row, uv_col = compute_uv([basic_vars[0], basic_vars[1]], cost_matrix)
    return compute_basic_feasible_sol(basic_vars, supply, demand)

总结

MODI方法和UV方法都是求解运输问题的常用算法，它们分别用于求解最优解和初始可行解。通过上述代码片段的介绍，我们可以更好地了解它们的具体实现过程。