排序一个递增-递减数组

介绍

给定一个由先递增后递减的整数数组，需要对其进行排序。例如，对于数组 [1, 3, 5, 7, 6, 4, 2]，排序后得到的数组应该是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]。

解决方案

我们可以使用分治法来解决这个问题。我们可以将整个数组分成两个部分，分别为递增部分和递减部分，然后分别进行排序，最后将两个有序数组进行合并。

具体步骤如下：

1. 用二分查找找到数组的峰值点，即后一个元素小于前一个元素的位置。
2. 将原数组拆分为两个部分，分别为起点到峰值点和峰值点到终点。
3. 对这两个部分进行排序，可以使用归并排序或快速排序等算法。
4. 最后将排序后的两个数组进行合并。

代码实现

以下是使用快速排序算法实现的代码：

def quicksort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    
    pivot = arr[0]
    left = []
    right = []
    equal = []
    
    for i in arr:
        if i > pivot:
            right.append(i)
        elif i < pivot:
            left.append(i)
        else:
            equal.append(i)
    
    return quicksort(left) + equal + quicksort(right)

def sort_array(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    
    peak_idx = find_peak_idx(arr)
    
    left = arr[:peak_idx+1]
    right = arr[peak_idx+1:]
    
    left_sorted = quicksort(left)
    right_sorted = quicksort(right)
    
    return merge_sort(left_sorted, right_sorted)

def find_peak_idx(arr):
    l = 0
    r = len(arr)-1
    
    while l < r:
        mid = (l+r) // 2
        
        if arr[mid] > arr[mid+1]:
            return mid
        
        if arr[mid] >= arr[l]:
            l = mid+1
        else:
            r = mid-1
    
    return l
    
def merge_sort(left, right):
    if not left:
        return right
    
    if not right:
        return left
    
    if left[0] < right[0]:
        return [left[0]] + merge_sort(left[1:], right)
    else:
        return [right[0]] + merge_sort(left, right[1:])

arr = [1, 3, 5, 7, 6, 4, 2]
print(sort_array(arr))

复杂度分析

• 时间复杂度：O(NlogN)，其中N为数组的长度。我们需要进行二分查找，时间复杂度为O(logN)；排序的时间复杂度为O(NlogN)；合并两个有序数组的时间复杂度为O(N)。因此，总的时间复杂度为O(NlogN)。
• 空间复杂度：O(N)，其中N为数组的长度。我们需要额外开辟两个数组来存储拆分后的两个部分，每个数组的长度为原数组的一半。递归的层数为O(logN)，因此，额外开辟的空间为O(N)。

总结

本文介绍了如何使用分治法来排序一个递增-递减数组，主要思路是先找到数组的峰值点，然后将数组拆成两个有序数组，分别进行排序，最后将两个有序数组按顺序合并。具体实现可以用归并排序或快速排序等算法。该算法的时间复杂度为O(NlogN)，空间复杂度为O(N)。