找到需要最小递增或递减数组元素的K以获取K的幂递增序列

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数数组 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 以及一个正整数 $k$，找到一个最小的下标 $i$，使得 $a_i < k$，并且将 $a_i$ 替换为 $k$ 后得到的新数组 $b_1, b_2, \ldots, b_n$ 是升序排列的。如果存在多个下标 $i$ 满足要求，则返回最小的下标。若不存在满足条件的下标，返回 $n+1$。

例如，对于数组 $[1, 3, 4, 4, 5]$ 和 $k=2$ 来说，下标为 $1$ 的元素 $3$ 比 $2$ 小，将其替换为 $2$ 可得到新数组 $[1, 2, 4, 4, 5]$ 是升序排列的。

思路

首先，对于一个升序排列的数组 $a$ 和正整数 $k$，可以使用二分查找的方法，在 $O(\log n)$ 的时间内找到满足 $a_i < k \le a_{i+1}$ 的最小下标 $i$。

接着，考虑如何将一个下标 $i$ 对应的值 $a_i$ 替换为 $k$。如果 $a_i < k$，则直接将 $a_i$ 替换为 $k$ 即可；否则，需要判断是否存在满足 $a_{i-1} < k \le a_i$ 的下标 $i-1$，如果存在则将 $a_i$ 替换为 $a_{i-1}$，否则将 $a_i$ 替换为 $k$。

最后，将数组 $a$ 依次替换为满足要求的最小下标 $i$ 对应的值 $k$，即可得到一个升序排列的数组 $b$，输出最小的满足要求的下标即可。

代码实现

def find_min_index(a, k):
    """找到需要最小递增或递减数组元素的k以获取k的幂递增序列的下标
    
    Parameters:
    ----------
    a : List[int]
        输入的正整数数组，长度为n
    k : int
        输入的正整数k
    
    Returns:
    -------
    index : int
        满足要求的最小下标，如果不存在则返回n+1
    """
    n = len(a)
    l, r = 0, n-1  # 二分查找数组a中满足a_i < k的最大下标
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if a[mid] < k:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    
    if l == n:  # 如果所有的数都 >= k，返回n+1
        return n+1
    
    if a[l] >= k:  # 如果所有的数都 < k，返回1
        return 1
    
    # 下面需要处理a[l] < k的情况
    index = l  # 将a[index]替换为k
    if index > 0 and a[index-1] >= k:  # 判断是否需要将a[index]替换为a[index-1]
        index = index - 1
    
    while index < n and a[index] < k:
        a[index] = k
        index += 1
    
    return index

总结

本题可以通过二分查找的方法解决，要注意边界情况的处理。