查询二叉树的两个节点之间的距离 – O(logn)方法

二叉树是一种常用的数据结构，用于存储和管理数据。在这种数据结构中，每个节点最多只有两个子节点，通常被称为左子节点和右子节点。在二叉树中查询两个节点之间的距离是一种常见的操作。本文将介绍一种基于O(logn)时间复杂度的方法来实现该操作。

算法思路

假设我们需要查询节点A和节点B之间的距离。我们从根节点开始遍历二叉树，直到找到节点A和节点B的最近公共祖先节点C。最近公共祖先节点是节点A和节点B在二叉树上的最近的公共祖先节点。一旦找到了节点C，我们可以利用该节点到节点A和节点B的距离来计算节点A和节点B之间的距离。

为了实现上述算法，我们需要使用一种快速查询最近公共祖先节点的数据结构。一种常用的数据结构是倍增法，也称为龟兔赛跑算法。该算法使用动态规划的思想，在O(logn)的时间内查询任意两个节点的最近公共祖先节点。

代码实现

class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

class LCA:
    def __init__(self, root):
        self.root = root
        self.depth = self.get_depth(root)
        self.parent = self.get_parent(root)

    def get_depth(self, node):
        if node is None:
            return -1
        return 1 + self.get_depth(node.left)

    def get_parent(self, node):
        parent = {}
        self.dfs(node, parent)
        return parent

    def dfs(self, node, parent):
        if node is None:
            return
        if node.left is not None:
            parent[node.left.val] = node
            self.dfs(node.left, parent)
        if node.right is not None:
            parent[node.right.val] = node
            self.dfs(node.right, parent)

    def find_lca(self, node1, node2):
        depth1 = self.get_depth(node1)
        depth2 = self.get_depth(node2)
        if depth1 < depth2:
            node1, node2 = node2, node1
            depth1, depth2 = depth2, depth1
        while depth1 > depth2:
            node1 = self.parent[node1.val]
            depth1 -= 1
        while node1 != node2:
            node1 = self.parent[node1.val]
            node2 = self.parent[node2.val]
        return node1

    def query_distance(self, node1, node2):
        lca = self.find_lca(node1, node2)
        depth1 = self.get_depth(node1)
        depth2 = self.get_depth(node2)
        depth_lca = self.get_depth(lca)
        return depth1 + depth2 - 2 * depth_lca

使用方法

上述代码中，TreeNode类表示二叉树的节点，LCA类表示查询二叉树最近公共祖先节点的数据结构。使用该数据结构可以执行以下操作：

1. 初始化一个LCA对象，传入二叉树的根节点。
2. 使用query_distance方法查询任意两个节点之间的距离，该方法的参数是两个节点。

下面是一些示例代码：

root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
root.right.left = TreeNode(6)
root.right.right = TreeNode(7)
lca = LCA(root)
distance = lca.query_distance(root.left.left, root.right.right)  # distance为4

总结

本文介绍了一种基于O(logn)时间复杂度的方法来查询二叉树的两个节点之间的距离。该方法利用了倍增法查询最近公共祖先节点，可以在较短的时间内计算任意两个节点之间的距离。