查询二叉树中两个节点之间的距离

在二叉树中，两个节点之间的距离是指从一个节点到另一个节点所需经过的边的数量。要查询二叉树中两个节点之间的距离，可以通过先找到它们的最近公共祖先（LCA），然后计算它们到 LCA 的距离来实现。

查找最近公共祖先（LCA）

要计算二叉树中两个节点之间的距离，需要先找到它们的最近公共祖先。可以通过以下方法来查找LCA：

1. 从根节点开始遍历二叉树，直到找到第一个与两个节点均有关系的节点，该节点就是它们的最近公共祖先（前提是二叉树中每个节点都可以访问到）。

2. 递归查找左右子树中是否存在某个节点，如果存在则返回该节点，否则返回null。

下面是一个示例代码片段用于查找二叉树中两个节点之间的最近公共祖先：

public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    if (root == null || root == p || root == q) {
        return root;
    }
    TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
    TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
    if (left == null) {
        return right;
    } else if (right == null) {
        return left;
    } else {
        return root;
    }
}

上述方法的时间复杂度是 $O(n)$，其中n是二叉树中节点的数量。

计算节点之间的距离

找到两个节点的最近公共祖先后，需要计算它们到 LCA 的距离。可以通过以下方式计算：

1. 分别计算两个节点到 LCA 的路径长度，两个路径长度之和就是它们之间的距离。

2. 计算 LCA 到两个节点的路径长度之和，减去两倍的 LCA 到根节点的路径长度。这个方法可以避免重复计算 LCA 到根节点的路径长度。

下面是一个示例代码片段用于计算二叉树中两个节点之间的距离：

public int distance(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    TreeNode lca = lowestCommonAncestor(root, p, q);
    int len1 = distanceToNode(lca, p);
    int len2 = distanceToNode(lca, q);
    return len1 + len2;
}

private int distanceToNode(TreeNode root, TreeNode target) {
    if (root == null) {
        return -1;
    }
    if (root == target) {
        return 0;
    }
    int left = distanceToNode(root.left, target);
    int right = distanceToNode(root.right, target);
    if (left == -1 && right == -1) {
        return -1;
    } else {
        return 1 + Math.max(left, right);
    }
}

上述方法的时间复杂度是 $O(n)$，其中n是二叉树中节点的数量。

总结

本文介绍了查询二叉树中两个节点之间的距离的方法，该方法需要先查找两个节点的最近公共祖先，然后计算它们到 LCA 的距离。在查询 LCA 时，可以通过遍历二叉树或递归查找节点的方式实现。在计算节点之间的距离时，可以通过计算两个节点到 LCA 的距离或者 LCA 到两个节点的距离之和减去 LCA 到根节点的距离实现。