ISRO CS 2017 问题 60

本题是 ISRO CS 2017 的第 60 道问题。它是一道关于数据结构和算法的问题，挑战程度较高。以下是该问题的内容：

给定一个数组，您需要找到该数组中能够被 3 整除的子数组总数。

例如，如果数组为 [1, 2, 3, 4, 5]，则可以找到以下的子数组：[3], [2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 5]，它们都能够被 3 整除。因此，该数组中能够被 3 整除的子数组的总数为 3。

要求：

实现一个函数，用于计算给定数组中能够被 3 整除的子数组的总数。

示例：

输入：[1, 2, 3, 4, 5]

输出：3

我们可以使用暴力方法来解决这个问题，思路如下：

1. 定义一个计数器 count，记录能够被 3 整除的子数组的总数。

2. 依次枚举出所有可能的子数组。

3. 对于每个子数组，判断它们的和是否能够被 3 整除。如果是，将计数器 count 加一。

4. 最后返回计数器 count 的值。

这个算法时间复杂度为O(n^3)，并且无法通过本题。我们需要采用更优秀的算法来解决这个问题。这里我们介绍一种时间复杂度为O(n)的解法。

算法思路：

我们可以利用 “前缀和” 这个数据结构来解决这个问题。

具体来说，我们可以先计算出该数组的前缀和数组。也就是说，定义一个新的数组 preSum，其中 preSum[i] 表示原数组中前 i 个元素的和。

例如，假设原数组为 [1, 2, 3, 4, 5]，则前缀和数组为 [1, 3, 6, 10, 15]。可以看出，preSum[j] - preSum[i-1] 表示原数组中从 i 到 j 的子数组的和。

接下来，我们考虑如何使用前缀和来计算能够被 3 整除的子数组的总数。

假设我们现在枚举了一个范围为 [i, j] 的子数组，它的和为 sum = preSum[j] - preSum[i-1]。

如果这个子数组能够被 3 整除，则必须满足 sum % 3 == 0。可以将其改写为 preSum[j] % 3 == preSum[i-1] % 3。

因此，我们可以用哈希表来记录所有可能的 preSum[k] % 3 的值。用 cnt 来记录这个值出现的次数。对于每个索引 j，我们可以通过 preSum[j] % 3 找到相应的类别 k，并将 cnt[k] 加入答案中。

代码实现：

def countSubarrays(arr):
    preSum = [0]
    for x in arr:
        preSum.append(preSum[-1] + x)
    cnt = [0] * 3
    for x in preSum:
        cnt[x % 3] += 1
    ans = 0
    for x in cnt:
        ans += x * (x - 1) // 2
    return ans

该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。