检查是否存在从给定单元格到矩阵的任何边界元素且元素总和不超过 K 的路径

简介

这个问题是关于在一个二维矩阵中找到一条从给定单元格出发到达矩阵的边界，且沿途元素的和不超过给定值K的路径。在计算机科学中，这个问题可以被描述为深度优先搜索或广度优先搜索的类型。

解题思路

可以使用DFS或BFS来解决这个问题。在每个步骤中，我们需要选择可走的下一个单元格，并检查是否超过了元素总和K。如果还没有到达边界，我们继续从当前单元格向下搜索。如果成功到达边界，我们停止搜索。

DFS解法

深度优先搜索的解法可以使用递归来实现。当我们从给定的单元格开始，我们首先将当前单元格标记为已访问，并检查它是否到达了矩阵的边界。如果没有到达，我们遍历所有相邻的单元格，对每个未访问过的单元格，以该单元格作为参数执行递归函数，累加总和。如果总和超过了K就回溯到上一个单元格，以此类推直到遍历完所有可能路径。

visited = [[False]*N for i in range(M)]
 
def dfs(matrix, i, j, K):

    if i < 0 or j < 0 or i >= M or j >= N:
        return False

    if visited[i][j]:
        return False

    visited[i][j] = True

    if matrix[i][j] > K:
        return False

    if i == 0 or j == 0 or i == M - 1 or j == N - 1:
        return True

    dfs(matrix, i-1, j, K-matrix[i][j]) or \
    dfs(matrix, i+1, j, K-matrix[i][j]) or \
    dfs(matrix, i, j-1, K-matrix[i][j]) or \
    dfs(matrix, i, j+1, K-matrix[i][j])

    visited[i][j] = False

    return False

BFS解法

广度优先搜索的解法需要使用队列来实现。对于每个单元格，我们将其加入到队列中，并标记为已访问。然后我们遍历每个相邻的单元格，对于每个未访问过的单元格，计算上一个单元格与该单元格的连线所代表的元素，以及距离矩阵的边界的距离。如果像素之和小于等于K，我们将该单元格加入队列中，并标记为已访问。重复这个过程，直到队列为空或找到了一条从给定细胞到达矩阵边界的路径。

def bfs(matrix, i, j, K):

    visited = [[False]*N for i in range(M)]
    queue = [(i, j)]
    visited[i][j] = True
    while queue:
        x, y = queue.pop(0)
        if x == 0 or y == 0 or x == M-1 or y == N-1:
            return True
        for dx, dy in [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]:
            xx, yy = x + dx, y + dy
            if 0 <= xx < M and 0 <= yy < N and not visited[xx][yy] and matrix[xx][yy] + matrix[x][y] <= K:
                queue.append((xx, yy))
                visited[xx][yy] = True
    
    return False

复杂度分析

无论使用DFS还是BFS解决这个问题，时间复杂度都是O(MN)。这是因为我们必须遍历矩阵中的每个单元格，而每个单元格最多只被访问一次。空间复杂度也是O(MN)。在BFS解法中，我们使用了一个队列，并在visited数组中标记了每个单元格的状态。在DFS解法中，我们使用了递归函数，在visited数组中标记了每个单元格的状态。

参考资料

• GeeksForGeeks