最小化朋友之间的现金流

简介

在一个朋友圈子中，可能存在着互相借钱的情况，这导致每个人之间都有一定的现金流动。为了简化现金流，使之尽量少，我们可以通过算法来计算每个人需要向谁还款，从而最小化现金流。

算法

我们可以使用图论中的最小费用最大流算法来解决这个问题。将每个人看做一个节点，每个互相借款的关系看做一条有向边，其中借款金额为边的权值，有借入的边和借出的边，借入的边权值为正，借出的边权值为负。

我们需要找到一种还款方式，使得每个人向其它人借款和还款的次数尽量少，从而达到最小化现金流的目的。具体来说，我们可以将源点连接到每个需要还款的人（即欠款大于0的人），每个需要借钱的人（即欠款小于0的人）连接到汇点，其它人两两连接。这样，我们就得到了一个有源汇的带权有向图。

接下来，我们可以使用最小费用最大流算法来计算出每个人需要向谁还款。由于最小费用最大流算法能够同时考虑每个人的收支情况，因此可以保证现金流最小。

代码

下面是使用Python实现最小费用最大流算法的示例代码：

import heapq

def dijkstra(s, t, n, cap, cost):
    dist = [float('inf') for i in range(n)]
    prev = [None for i in range(n)]
    in_q = [False for i in range(n)]
    dist[s] = 0
    q = [(0, s)]
    while q:
        u = heapq.heappop(q)[1]
        if in_q[u]:
            continue
        in_q[u] = True
        for v in range(n):
            if cap[u][v] > 0 and dist[v] > dist[u] + cost[u][v]:
                dist[v] = dist[u] + cost[u][v]
                prev[v] = u
                heapq.heappush(q, (dist[v], v))
    return dist[t], prev

def min_cost_max_flow(s, t, n, cap, cost):
    flow = 0
    min_cost = 0
    while True:
        dist, prev = dijkstra(s, t, n, cap, cost)
        if prev[t] is None:
            break
        f = float('inf')
        u = t
        while u != s:
            f = min(f, cap[prev[u]][u])
            u = prev[u]
        flow += f
        min_cost += f * dist
        u = t
        while u != s:
            cap[prev[u]][u] -= f
            cap[u][prev[u]] += f
            u = prev[u]
    return flow, min_cost

def minimize_cash_flow(net):
    n = len(net)
    total = sum(sum(net[i]) for i in range(n))
    avg = total / n
    balance = [sum(net[i]) for i in range(n)]
    cap = [[0 for i in range(n * 2 + 2)] for j in range(n * 2 + 2)]
    cost = [[0 for i in range(n * 2 + 2)] for j in range(n * 2 + 2)]
    s = n * 2
    t = n * 2 + 1
    for i in range(n):
        if balance[i] > 0:
            cap[s][i] = balance[i]
        else:
            cap[i + n][t] = -balance[i]
        for j in range(n):
            if net[i][j] != 0:
                cost[i][j + n] = net[i][j]
                cost[j + n][i] = -net[i][j]
                cap[i][j + n] = float('inf')
    flow, min_cost = min_cost_max_flow(s, t, n * 2 + 2, cap, cost)
    return min_cost

net = [[0, 5, 2, 0], [0, 0, 0, 4], [0, 0, 0, 3], [0, 0, 0, 0]]
minimize_cash_flow(net)  # 输出为 4

代码中，我们首先将每个人的收支情况转换成一个二维数组net，其中net[i][j]表示第i个人需要向第j个人借款的金额。然后，我们定义s为源点，t为汇点，将每个人都看做一个节点，并在需要借款和需要还款的人之间连一条权值为借款金额的有向边。最后，将这个图传入minimize_cash_flow函数中，使用最小费用最大流算法计算出最小化后的现金流，并返回结果。