最小化两个K长度子集之和之间的差异

介绍

这是一个约束满足问题（CSP），我们需要将一个给定的列表分割成两个等长的子集，使得它们之和之间的差异最小化，通过给定一个参数K可以控制每个子集的长度。

这个问题最初是 Google Kickstart 中的 Round B (2021) 的第三道题目：“Sum Or Difference”，虽然 Google Kickstart 并不是一个固定的比赛，但它的题目可以用于平时练习。

解法

这个问题可以用一些算法来解决，其中一种方法是使用深度优先搜索（DFS），但这个方法的时间复杂度是指数级别的，得到全局最优解需要花费很长时间。

另一种方法是使用动态规划（DP），这个方法的时间复杂度是多项式级别的。我们可以建立一个二维数组，用于存储到第i个元素时，能否凑出总和j（i,j)应当是一个布尔值。数组的每个元素都可以由上一行的值推导出来。

我们需要建立一个k * (sum + 1)的矩阵。其中k是每个子集的长度，sum是列表中所有元素的总和。

转移方程可以写为：

matrix[i][j] = matrix[i-1][j] | matrix[i-1][j-nums[i]]

为了最小化两个K长度子集之和之间的差异，我们需要在k * (sum + 1)中找到最接近 sum / 2 的值，因为两个K长度子集的和应该尽可能地接近总和的一半，而不考虑这个条件，问题的解只是一个暴力枚举。

当 matrix[k][sum / 2] 为真时，说明存在一个子集使它可以凑出 sum / 2, 因此 sum - 2 * matrix[k][sum / 2] * (sum / 2) 就是两个K长度子集之和之间的差异。

代码

def minimize_diff(nums, k):
    n = len(nums)
    s = sum(nums)

    if s % 2:
        return 'NO'

    half = s // 2

    matrix = [[False] * (half + 1) for _ in range(k+1)]
    matrix[0][0] = True

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(min(i, k), 0, -1):
            for t in range(half, nums[i-1]-1, -1):
                matrix[j][t] |= matrix[j-1][t-nums[i-1]]

    if not matrix[k][half]:
        return 'NO'

    return str(s - 2 * half)

以上是一个 Python 实现的示例代码，我们在函数中接收一个名为“nums”的列表和一个名为“k”的整数。在代码中，我们首先计算总和并检查它是否可以平均分配到两个子集中，然后通过创建一个二维矩阵进行动态规划。最后，我们返回两个K长度子集之和之间的差异。

结论

这个问题可以通过动态规划的方法解决，其效率比深度优先搜索高得多，同时可以通过加入适当约束，使得问题的表现更加优秀。动态规划是一种普遍使用的技术，在设计算法或解决问题时，可能希望考虑使用它来提高效率。