寻找 X 轴上距离所有其他点距离总和最小的点

在计算机科学中，有时需要在给定的一组点中找到特定位置的点，以最小化到所有其他点的距离总和。本文将介绍如何在一组已知的 N 个点中找到 X 轴上距离所有其他点距离总和最小的点。

问题描述

假设给定 N 个点，以二元组 (x, y) 表示它们在平面上的位置。我们需要找到一个点 (x0, 0)，使得它与其他所有点的距离之和最小。换句话说，我们需要找到以下式子的最小值：

解决方案

我们可以使用二分答案来解决这个问题。首先，我们可以观察到距离函数是连续的和凸的，因此我们可以使用二分答案找到最小的距离使得所有点到该距离的圆周上。假设当前要二分的距离为 d，则问题等价于在 X 轴上找到一个点，它到给定的点集为 d。

我们可以使用一个指针 p，表示目前距离起点的位置，然后枚举每个点，如果该点距离当前位置超过了 d，则将指针移动到 x 坐标为该点的前一个点。

具体而言，我们按照 x 坐标递增的顺序遍历每个点 i，并用双指针维护最左侧的点为 p，最右侧的点为 q，使得所有在区间 [p, q] 中的点与点 i 的距离都小于 d。一旦我们找到了一个点 p0，使得所有点都小于距离 d，我们将指针移动到 p0 的前一个点，以避免找到离开右边界的点。

当我们在 X 轴上找到距离所有点的总和最小的点时，我们就找到了问题的解。

复杂度分析

该算法涉及二分答案和双指针。给定 N 个点，则计算每个点与二分点的距离需要 O(N) 的时间。每个二分需要 O(N log N) 的时间，因此总时间复杂度为 O(N^2 log N)。

代码实现

下面是该算法的 Python 3 实现：

def find_optimal_point(points):
    points.sort()  # 按 x 坐标递增排序
    p, q = 0, len(points) - 1
    total_distance = sum(abs(p[0] - q[0]) + abs(p[1] - q[1]) for p in points for q in points)
    while p < q:
        mid = (p + q) // 2
        if check(mid, points):
            q = mid
        else:
            p = mid + 1
    return p, total_distance - 2 * sum(abs(p[0] - q[0]) + abs(p[1] - q[1]) for p in points)

def check(d, points):
    p, q = 0, 1
    while p < len(points):
        while q < len(points) and points[q][0] - points[p][0] <= d:
            q += 1
        if any(abs(points[i][0] - points[p][0]) + abs(points[i][1] - points[p][1]) > d for i in range(p, q)):
            p += 1
        else:
            return True
    return False

在这个实现中，find_optimal_point() 函数接收一个点列表 points，并返回最优点的 X 坐标和最小距离。check() 函数用于检查当前距离是否可行。

结论

我们已经介绍了如何在一组已知的 N 个点中找到距离所有点最近的点。这种问题经常出现在计算机图形学、人工智能和其他领域的应用中，因此掌握此技术可能对您的职业生涯有所裨益。