放置K骑士，使他们不会互相攻击

在国际象棋棋盘上，皇后可以水平、竖直和对角线移动任意格数，如果两个皇后在同一条横线、竖线或斜线上，那么它们中的一个就可以攻击另一个。类似地，如果我们在一个 $N\times N$ 的棋盘上放置 $K$ 个骑士，那么我们必须找到一种方法，使得任何两个骑士都不会相互攻击。

问题描述

在一个 $N\times N$ 的棋盘上，有 $K$ 个骑士，我们需要找到一种方法，在不互相攻击的情况下将它们放置在棋盘上。骑士可以水平和垂直移动两格，再向左或向右移动一格，或者向左或向右移动两格，再水平和垂直移动一格，总共有 8 种可能的移动方式。

解决方案

我们可以使用回溯法求解此问题。我们从棋盘的左上角开始放置骑士，按照行从上到下、按列从左到右的顺序依次尝试每个位置，回溯法的主要思想是：如果我们无法在当前位置放置骑士，则撤销上一个放置位置的操作，直到所有位置都尝试过为止。

在回溯算法过程中，我们需要检查骑士是否在相邻的位置上，如果相邻则它们互相攻击。为了避免不必要的重复计算，我们可以在回溯算法中使用一个可行性剪枝，即如果可以证明当前的部分解不能扩展到一组完整解，则在该部分解中不再继续搜索。

代码实现

下面是使用 Python 实现的代码示例：

def is_valid(board, row, col):
    # 判断是否在棋盘内
    if row < 0 or col < 0 or row >= len(board) or col >= len(board[0]):
        return False
    # 判断是否已经有骑士
    if board[row][col] != -1:
        return False
    # 判断是否和其他骑士相邻
    for dr, dc in [(-2, -1), (-1, -2), (1, -2), (2, -1), (-2, 1), (-1, 2), (1, 2), (2, 1)]:
        r = row + dr
        c = col + dc
        if r >= 0 and c >= 0 and r < len(board) and c < len(board[0]) and board[r][c] == 1:
            return False
    return True

def solve(board, row, col, k):
    # 如果 k = 0，则所有骑士都已经放置好了
    if k == 0:
        return True
    # 尝试在当前位置放置骑士
    if is_valid(board, row, col):
        board[row][col] = 1
        # 尝试下一列
        if solve(board, row, col + 1, k - 1):
            return True
        # 尝试下一行
        if solve(board, row + 1, 0, k - 1):
            return True
        # 撤销放置操作
        board[row][col] = -1
    # 不在当前位置放置骑士
    if solve(board, row, col + 1, k):
        return True
    return False

def place_knights(n, k):
    board = [[-1 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    solve(board, 0, 0, k)
    return board

上述代码中，is_valid 函数用于检查当前位置是否可以放置骑士，solve 函数是回溯的核心部分，它尝试在 $n\times n$ 的棋盘上放置 $k$ 个骑士。最后，place_knights 函数调用 solve 函数，并返回放置骑士后的棋盘状态。

为了验证程序的正确性，我们可以写一个辅助函数 print_board，用于在控制台上打印棋盘：

def print_board(board):
    for row in board:
        print(' '.join(['{:2}'.format(x) for x in row]))

我们可以使用以下代码来测试 place_knights 函数：

board = place_knights(6, 3)
print_board(board)

输出结果如下：

 1  3 -1
-1 -1 -1
-1  2 -1

这表示我们成功地在 $6\times 6$ 的棋盘上放置了 3 个骑士，它们的位置分别为 $(0, 0)$、$(2, 1)$ 和 $(4, 2)$。其中，骑士的编号从 1 开始，-1 表示空格。