通过一次选择任意两个字符串的最大长度的所有 LCP 的总和

主要是解释如何针对这一问题进行程序设计和优化。

问题概述

一个字符串的最长公共前缀 (LCP)，就是这个字符串和其他字符串中最靠前的一个相同的前缀。比如，字符串 "abcd" 和 "abce" 的 LCP 是 "abc"。给定一组字符串集合，问题是找到其中任意两个字符串 LCP 的最大长度，并计算出所有的 LCP 长度的总和。

暴力解法

一种朴素的解法是通过两重循环枚举所有字符串对，然后针对每个字符串对，计算出它们的 LCP 长度，再通过维护一个变量来统计所有 LCP 长度的总和。这种方法的时间复杂度是 $O(n^3)$。对于较小的输入，暴力解法的效率是可以接受的。但是对于大规模测试用例，它的效率会很低。

代码实现：

def find_lcp_sum(strs):
    n = len(strs)
    lcp_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            lcp_len = 0
            while lcp_len < min(len(strs[i]), len(strs[j])) and strs[i][lcp_len] == strs[j][lcp_len]:
               lcp_len += 1
            lcp_sum += lcp_len
    return lcp_sum

优化解法

前缀树

前缀树 (Trie) 是一种通过保存所有字符串的前缀来表示字符串集合的数据结构。通过构建前缀树，我们可以很方便地找到所有字符串之间的 LCP。构建前缀树的时间复杂度是 $O(nm)$，其中 $n$ 是字符串数量，$m$ 是字符串平均长度。对于一组固定长度的字符串，前缀树的构建时间是固定的，因此它的时间复杂度被认为是 $O(n)$。

代码实现：

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        self.is_word = False
        
    def add_word(self, word):
        node = self
        for c in word:
            if c not in node.children:
                node.children[c] = TrieNode()
            node = node.children[c]
        node.is_word = True
        
    def find_lcp(self, word):
        node = self
        lcp_len = 0
        for c in word:
            if c not in node.children:
                break
            node = node.children[c]
            lcp_len += 1
            if node.is_word:
                break
        return lcp_len
        
def find_lcp_sum(strs):
    trie = TrieNode()
    for s in strs:
        trie.add_word(s)
    lcp_sum = 0
    for s in strs:
        lcp_sum += trie.find_lcp(s)
    return lcp_sum

后缀数组

后缀数组 (Suffix Array) 是一种用于快速查询字符串子串的数据结构。构建后缀数组的时间复杂度是 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是字符串长度。计算所有 LCP 的时间复杂度是 $O(n)$。因此，使用后缀数组来解决这个问题的时间复杂度是 $O(n \log n)$。

代码实现：

def build_suffix_array(s):
    n = len(s)
    inv_sa = [0] * n
    sa = [0] * n
    for i in range(n):
        inv_sa[i] = ord(s[i])
        sa[i] = i
    k = 1
    while k < n:
        inv_sa[sa[0]] = 0
        tmp_sa = sa[:]
        for i in range(1, n):
            if inv_sa[sa[i]] == inv_sa[sa[i - 1]] and inv_sa[sa[i] + k] == inv_sa[sa[i - 1] + k]:
                continue
            tmp_sa[i] = tmp_sa[i - 1] + 1
        sa = tmp_sa[:]
        inv_sa[sa[0]] = 0
        k *= 2
        for i in range(1, n):
            if inv_sa[sa[i]] == inv_sa[sa[i - 1]] and inv_sa[sa[i] + k // 2] == inv_sa[sa[i - 1] + k // 2]:
                inv_sa[sa[i]] = inv_sa[sa[i - 1]]
            else:
                inv_sa[sa[i]] = inv_sa[sa[i - 1]] + 1
    return sa
    
def build_lcp(s, sa):
    n = len(s)
    rank = [0] * n
    for i in range(n):
        rank[sa[i]] = i
    lcp = [0] * (n - 1)
    k = 0
    for i in range(n):
        if rank[i] == n - 1:
            continue
        j = sa[rank[i] + 1]
        while i + k < n and j + k < n and s[i + k] == s[j + k]:
            k += 1
        lcp[rank[i]] = k
        k = max(k - 1, 0)
    return lcp
    
def find_lcp_sum(strs):
    s = ''.join(strs) + '$'
    sa = build_suffix_array(s)
    lcp = build_lcp(s, sa)
    return sum(lcp)

总结

本文介绍了针对一组字符串集合，通过一次选择任意两个字符串的最大长度的所有 LCP 的总和的问题的解法。暴力解法的时间复杂度是 $O(n^3)$。优化解法包括使用前缀树和后缀数组两种方法，时间复杂度分别为 $O(n)$ 和 $O(n \log n)$。对于较小的输入，暴力解法可以接受。对于大规模测试用例，应该选择优化解法。