以'表示数字的字符串的所有子字符串的总和 |设置 1'解题介绍

题目背景

本题的字符串是由0到9的数字字符构成的，但输出时要将数字字符用'表示。例如 "123" 输出为 "'1' + '2' + '3'"，而非 "1+2+3"。要求写一个程序，计算所有子串的总和。

分析思路

问题本质上是求字符串的所有子字符串的和，最直接的方法是二重循环枚举所有子串并累加。对于某个子串，可以通过用'表示数字字符的方式来计算它的值。时间复杂度为 O(n^3)，空间复杂度为 O(n)。此算法不适用于大规模数据，需要进行优化。

考虑利用前缀和，将枚举子串的时间复杂度降为O(n^2)，用一个数组 sum 表示到当前位置 i 为止所有数字字符组成的子串的和，sum[i] = sum[i-1]*10 + (s[i]-'0')。这样，对于每个子串 [j,i] 的和，就可以用 O(1) 时间计算出来：sum[i]-sum[j-1]。

综上，我们可以通过前缀和优化算法，使时间复杂度降为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

代码实现

下面是一个基于前缀和优化的 Python3 代码的实现：

def sum_substrings(s):
    n = len(s)
    ans = 0
    sum = [0] * n
    sum[0] = ord(s[0]) - ord('0')
    ans += sum[0]   # sum[0]: "1", "12", "123", ... 所表示的整数值
    for i in range(1, n):
        sum[i] = sum[i - 1] * 10 + (ord(s[i]) - ord('0'))
        ans += sum[i]  # sum[1]: "2", "23", ... 所表示的整数值
                        # sum[2]: "3", ... 所表示的整数值
    return ans

结语

通过对这个问题的分析，我们得出了一个时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n) 的算法。这里的优化思路是利用到了前缀和这一数据结构。在算法的实现中，我们要充分理解题目要求和条件，才能够顺利地计算。