NCERT解决方案-第9类 – 第10章、圆

本文是NCERT解决方案系列中的第9类，解决第10章圆中的练习10.1问题。

简介

圆是高中几何的一个基础知识点，NCERT的第9类解决方案系列中，第10章介绍了圆的定义和性质，包括圆心、半径、弧、弦、切线等概念。该章节的练习10.1旨在帮助学生巩固对圆的理解，包括圆的基本图形、圆的相关性质、圆的定位等各个方面。

解决方案

以下是练习10.1的解决方法：

1. 在平面直角坐标系中给定不同的圆，画出它们的图形并找到它们的圆心和半径。

• 在平面直角坐标系中画圆的方法是使用matplotlib库中的plot函数。具体代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

# 圆心为(0,0)，半径为1的圆
circle1 = plt.Circle((0,0), 1, color='r', fill=False)
plt.gca().add_patch(circle1)

# 圆心为(2,3)，半径为2的圆
circle2 = plt.Circle((2,3), 2, color='b', fill=False)
plt.gca().add_patch(circle2)

# 显示图形
plt.axis('scaled')
plt.show()

• 以上代码会在平面直角坐标系中画出两个圆。第一个圆的圆心为(0,0)，半径为1；第二个圆的圆心为(2,3)，半径为2。其中add_patch用于添加圆到图形中，axis用于设置图形坐标系的比例，以便保持圆的形状不变。

2. 判断以下语句是否为真。如果它们为假，请重新给出语句，并画出图形。

• “所有在线段AB的中点处的点到点A的距离等于点B到点A的距离。” 此语句为真。如果此语句为假，则应该重新给出。如果需要画出图形的话，可以使用以下代码：

import matplotlib.pyplot as plt

# 点A和点B的坐标
Ax = 0
Ay = 0
Bx = 3
By = 4

# 线段AB的中点
Cx = (Ax + Bx) / 2
Cy = (Ay + By) / 2

# 点A、B、C的坐标
pointA = [Ax,Ay]
pointB = [Bx,By]
pointC = [Cx,Cy]

# 计算AC和BC的距离
distAC = ((Ax-Cx)**2 + (Ay-Cy)**2)**0.5
distBC = ((Bx-Cx)**2 + (By-Cy)**2)**0.5

# 绘制线段AB和中点C
plt.plot([Ax,Bx],[Ay,By],'k-',linewidth=1) # 画线段AB
plt.plot(Cx,Cy,'ro') # 画出线段AB中点C

# 绘制点A和点C之间的线段和距离
plt.plot([Ax,Cx],[Ay,Cy],'b--',linewidth=0.5)
plt.text((Ax+Cx)/2,(Ay+Cy)/2,f'{distAC:.2f}',fontsize=8)

# 绘制点B和点C之间的线段和距离
plt.plot([Bx,Cx],[By,Cy],'g--',linewidth=0.5)
plt.text((Bx+Cx)/2,(By+Cy)/2,f'{distBC:.2f}',fontsize=8)

# 显示图形
plt.axis('scaled')
plt.show()

• 以上代码会在平面直角坐标系中画出线段AB和线段AB的中点C，并绘制出点A、C的距离和点B、C的距离。如果需要绘制其他语句的图形，可以采用类似的方法。

3. 给出一张圆和三个线段。如果线段为圆的切线，则画出图形。

如果线段是圆的切线，则它必须和圆相切，即只有一个公共点。因此，可以判断线段的两个端点和圆心的距离是否相等，若相等则表示该线段为圆的切线。绘制图形的代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义圆的圆心和半径
cx = 0
cy = 0
r = 2

# 定义三个测试线段
lines = [[-2,-1,2,-1],[1,1,1,-2],[-2,2,2,2]]

# 画圆
theta = np.linspace(0,2*np.pi,100)
x = r*np.cos(theta) + cx
y = r*np.sin(theta) + cy
plt.plot(x,y)

# 画线段
for line in lines:
    x1,y1,x2,y2 = line
    plt.plot([x1,x2],[y1,y2])

    # 判断是否为切线
    is_tangent = (x1-cx)**2+(y1-cy)**2==r**2 and (x2-cx)**2+(y2-cy)**2==r**2
    if is_tangent:
        plt.text((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,"T", fontsize=20)

# 显示图形
plt.axis('scaled')
plt.show()

• 以上代码会在平面直角坐标系中画出圆和三个线段。如果某线段为圆的切线，则会在线段中点上方显示“T”字母。