K-Dimensional Tree | 删减操作

什么是K-Dimensional Tree？

K-Dimensional Tree (简称K-D Tree)是一种数据结构，可以用于存储k维空间内的点集合。经常被用于搜索范围查询和最近邻搜索等应用。

K-D Tree 本质上是一个二叉树，其中每个节点代表一个k维空间的点，而每个节点的左子树和右子树则代表k维空间上的两个操作区域。它与二叉搜索树的主要区别在于，它将点从根节点到叶子节点的路径定义为一条由节点组成的k维线段，而不是一条沿着树的边的路径。

如何实现K-D Tree？

在实现K-D Tree时，我们需要考虑以下几个问题：

1. 如何选择分割维度？

2. 如何选择分割点？

3. 如何插入新的节点？

4. 如何删除节点？

其中，选择分割维度和分割点是关键的步骤。常见的做法是依次选择每个维度来分割，或者根据某种准则来选择一个较为均匀的分割维度和分割点。插入和删除节点则较为简单，可以类比二叉搜索树。

如何删除节点？

删除K-D Tree节点涉及到的关键操作是，搜索到待删除节点并从树中移除它。如果待删除节点不存在于树中，则函数应该退出并返回。

一般来说，删除K-D Tree节点需要考虑以下几种情况：

1. 待删除节点是叶子节点，直接删除即可。

2. 待删除节点只有一个子节点，用子节点代替待删除节点即可。

3. 待删除节点有两个子节点，这个比较复杂。我们可以从它的后继节点中选择一个，将它的值赋给待删除节点，然后再删除后继节点。

操作的实现

以下是K-D Tree的删除操作的C++实现，假设所有数据都储存在一个二维数组中：

typedef pair<int, int> Point;
struct KdNode {
    Point xy;
    KdNode *left, *right;
    KdNode(Point _xy) : xy(_xy), left(NULL), right(NULL) {}
};

void deleteNode(KdNode *&root, Point p, int depth) {
    if (root == NULL) return;
    if (root->xy == p) {
        if (root->right != NULL) { // Case 3
            KdNode *minNode = root->right;
            while (minNode->left != NULL) minNode = minNode -> left;
            root -> xy = minNode -> xy;
            deleteNode(root -> right, minNode -> xy, depth + 1);
        } else { // Case 1 and 2
            if (root->left == NULL) root = NULL;
            else {
                KdNode *temp = root;
                root = root->left;
                delete temp;
            }
        }
        return;
    }
    if (depth % 2 == 0) { // Search by x-coordinate
        if (root->xy.first > p.first) deleteNode(root->left, p, depth+1);
        else deleteNode(root->right, p, depth+1);
    } else { // Search by y-coordinate
        if (root->xy.second > p.second) deleteNode(root -> left, p, depth+1);
        else deleteNode(root -> right, p, depth+1);
    }
}

如上代码，在x坐标和y坐标之间交替切换进行比较。对于最坏的情况，删除操作的时间复杂度可以达到O(n)——跟二叉搜索树一样。因此，我们需要一些算法来优化这个删除操作来简化程序。

总结

以上是关于K-D Tree和删除操作的介绍和实现，K-D Tree是一种用于解决高维空间中的搜索问题的数据结构。与其他数据结构相比，K-D Tree在实现距离相关算法时速度较快。同时，它在处理多维查询时也比较方便。

当然，区别于静态树的使用，动态K-D Tree需要我们注意其删除的实现方式，以优化复杂度，并且结合实际情况合理设计数据结构的存储方式。