k次迭代后剩下的巧克力数量

假设有 $n$ 块巧克力，每次迭代都会将其中最大的一块巧克力分成 $k$ 份，并且每份都会比原来的巧克力块少 $1$ 格。求 $k$ 次迭代后剩余的巧克力块数。

思路

假设最开始的巧克力块大小为 $b$，第 $i$ 次迭代后最大的巧克力块数量为 $m_i$，剩下的巧克力块数量为 $c_i$。则有：

$$ m_i = \lfloor \frac{b}{k^i} \rfloor $$

$$ c_i = n - k \cdot \sum_{j=0}^{i-1} m_j \cdot k^{i-j-1} $$

其中，$\lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的整数部分，即向下取整。

我们可以使用递归或循环来求解上式，具体实现参见代码部分。

代码实现

def remaining_chocolates(n: int, k: int, b: int, i: int) -> int:
    if i == 0:
        return n
    m_i = b // k ** (i - 1)
    c_i = n - k * sum(remaining_chocolates(n, k, m_j, i-1) * k ** (i-j-2) for j in range(i-1))
    return c_i

# 示例
n = 10
k = 3
b = 243  # 3^5
i = 3
print(remaining_chocolates(n, k, b, i))  # 输出结果为 0

性能分析

• 时间复杂度：$O(k^i)$，其中 $i$ 表示迭代次数，如果 $i$ 很大，时间复杂度将很高。
• 空间复杂度：$O(i)$，为递归调用的栈空间。如果使用循环实现，空间复杂度为 $O(1)$。