通过插入加法运算符可能的数字字符串的所有可能表达式的总和

这个问题可以通过使用递归回溯算法实现。具体来说，我们递归地将插入加号和不插入加号两种情况考虑，直到我们考虑了所有可能的插入方案。如果我们到达了字符串的末尾，则将表达式求值并将其添加到总和中。

下面是一个Python实现的示例代码：

def evaluate(expression):
    # 分割表达式中的数字和运算符
    operands = []
    operator = '+'
    num = ''
    for char in expression:
        if char.isdigit():
            num += char
        else:
            operands.append(int(num))
            num = ''
            operator = char
    operands.append(int(num))

    # 计算表达式的值
    total = operands[0]
    for i in range(1, len(operands)):
        if operator == '+':
            total += operands[i]
        else:
            total -= operands[i]
    return total

def generate_expressions_helper(digits, index, expression, total_sum):
    # 如果已经到达字符串的末尾则计算表达式的值
    if index == len(digits):
        total_sum += evaluate(expression)
    else:
        # 递归地考虑插入加号和不插入加号两种情况
        generate_expressions_helper(digits, index + 1, expression + digits[index], total_sum)
        generate_expressions_helper(digits, index + 1, expression + '+' + digits[index], total_sum)

    return total_sum

def generate_expressions(digits):
    # 生成所有可能的表达式并计算它们的总和
    return generate_expressions_helper(digits, 1, digits[0], 0)

digits = '123'
total_sum = generate_expressions(digits)

print('所有可能表达式的总和为：', total_sum)

复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(2^N)，其中N是字符串中数字的数量。这是因为我们对于每个数字都有两种可能的选择（插入加号或不插入加号）。空间复杂度为O(N)，因为我们需要递归地存储表达式和递归栈。