最小化无向图顶点着色成本

在图论中，顶点着色问题是指为无向图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点不具有相同的颜色。在此问题中，我们的目标是要找到一种最小化颜色使用量的方法。

方法

一种有效的方法是使用贪心算法，按照如下步骤进行：

1. 将每个顶点标记为未涂色；
2. 遍历每个顶点，选择一个未涂色的顶点并分配颜色；
3. 遍历与该顶点相邻的所有顶点，将与其邻接的顶点标记为已涂色；
4. 继续遍历未涂色的顶点，重复步骤2-3直到所有顶点都被涂色。

在贪心算法中，可以使用一个数据结构（如哈希表）来记录每个顶点的邻接列表。

代码实现

以下是一个Python的实现，其中使用了哈希表来记录顶点的邻接列表：

def vertex_coloring(graph):
    colors = {}
    for vertex in sorted(graph, key=lambda x: len(graph[x]), reverse=True):
        available_colors = set(range(len(graph)))
        for neighbor in graph[vertex]:
            if neighbor in colors:
                available_colors.discard(colors[neighbor])
        color = available_colors.pop()
        colors[vertex] = color
    return colors

示例

以下是一个无向图的示例和它的最小化着色：

G = {'A': {'B', 'C'},
     'B': {'A', 'C', 'D'},
     'C': {'A', 'B', 'D'},
     'D': {'B', 'C', 'E', 'F'},
     'E': {'D', 'F'},
     'F': {'D', 'E'}}

使用上述算法，这个图的最小化着色如下：

>>> vertex_coloring(G)
{'A': 0, 'B': 1, 'C': 0, 'D': 2, 'E': 1, 'F': 3}

这里每个数字代表一个颜色，0表示红色，1表示绿色，2表示蓝色，3表示紫色。

总结

顶点着色问题是在图论中的一个重要问题，可以通过贪心算法来解决。此算法时间复杂度为O(V+E)。