为没有3个相邻顶点具有相同颜色的树着色的最小成本

在计算机科学中，图论是一个重要的领域，着色问题是其中的一个重要问题。给定一个无向图，如何为每个节点着上一种颜色，并且相邻的节点不能有相同的颜色，这就是着色问题。树的着色问题相对简单，因为树没有环，所以问题就转化为了如何为每个节点选择颜色，使得没有相邻的节点颜色相同。

我们可以通过贪心算法来解决这个问题。从树的任意节点开始，为它着上一种颜色。然后对每一个它的儿子，选择一个颜色并着色，使得它的颜色与它的父节点的颜色不同。然后对每个儿子递归着色它们的子树。

下面是一个 Java 代码片段，实现了树的最小着色成本问题，这个代码采用了贪心算法。

public class TreeColoring {
    
    /**
     * 为树着色
     * 
     * @param root 根节点
     */
    public static void color(TreeVertex root) {
        setColor(root, 1, 0);
    }
    
    /**
     * 着色
     * 
     * @param vertex 结点
     * @param color 颜色
     * @param parentColor 父节点颜色
     */
    public static void setColor(TreeVertex vertex, int color, int parentColor) {
        vertex.color = color;
        for (TreeVertex child : vertex.children) {
            int newColor = 1;
            while (newColor == vertex.color || newColor == parentColor) {
                newColor++;
            }
            setColor(child, newColor, vertex.color);
        }
    }
    
    /**
     * 计算树的最小着色成本
     * 
     * @param root 根节点
     * 
     * @return 最小着色成本
     */
    public static int minCost(TreeVertex root) {
        color(root);
        int sum = 0;
        for (TreeVertex vertex : TreeVertex.allVertices) {
            sum += vertex.color;
        }
        return sum;
    }
}

/**
 * 树节点类
 */
class TreeVertex {
    int color;
    List<TreeVertex> children;
    static List<TreeVertex> allVertices;
    // ...
}

这个代码中，TreeVertex 表示树的节点，color 表示这个节点的颜色。color 的值为 1 到 n 之间的整数，其中 n 是节点个数。children 表示这个节点的子节点列表。allVertices 表示整个树的节点列表。

首先，color 函数使用递归的方式为整个树着色。对于根节点，我们为它着上 1 号颜色。然后对每个子节点，选择一个颜色使得它与父节点颜色不同，再递归着色它们的子树。

最后，minCost 函数计算树的最小着色成本，即计算颜色的和。