无向图顶点着色成本最小化

在无向图的顶点着色问题中，给定一个无向图，目标是将图中所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同，并且着色成本最小化。

贪心算法

贪心算法是解决无向图顶点着色问题的常用方法。该算法的基本思路是，从未着色的顶点中选择度数最高的顶点进行着色，颜色选择为目前未被相邻顶点使用的最小颜色值。

算法步骤

1. 初始化所有顶点颜色为-1，表示未着色。
2. 从未着色的顶点中选择度数最高的顶点，进行颜色着色。
3. 遍历与该顶点相邻的顶点，将它们的颜色从候选颜色集合中删除。
4. 重复步骤2和3直到所有顶点都被着色。

代码实现

def greedy_coloring(graph):
    colors = [-1] * graph.V

    # 从度数最高的顶点开始着色
    max_degree = max([graph.degree(v) for v in range(graph.V)])
    start_vertex = [v for v in range(graph.V) if graph.degree(v) == max_degree][0]

    # 标记已经使用的颜色
    used_colors = set()

    # 着色第一个顶点
    colors[start_vertex] = 0

    # 遍历所有顶点
    for v in range(graph.V):
        if colors[v] == -1:
            # 获取相邻顶点的颜色
            neighbor_colors = set([colors[n] for n in graph.adj[v] if colors[n] != -1])
            # 从可用颜色中选最小颜色
            available_colors = set(range(max_degree+1)) - neighbor_colors
            min_color = min(available_colors)
            colors[v] = min_color
            used_colors.add(min_color)

    # 返回成本和最小着色方案
    cost = len(used_colors)
    return cost, colors

时间复杂度

贪心算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为顶点数。由于需要遍历每个顶点的相邻顶点，因此算法的时间复杂度较高。

精确算法

为了减少贪心算法的成本，可以使用精确算法。精确算法可以保证在合理的时间内得到最优解，但通常需要付出较高的计算成本，因此通常用于小规模的问题。

算法步骤

一种常见的精确算法是搜索算法，以回溯法为例，基本思路如下：

1. 初始化所有顶点颜色为-1，表示未着色，最小成本为无穷大。
2. 从未着色的顶点中选择一个进行着色。
3. 遍历与该顶点相邻未着色的顶点，将它们的颜色从候选颜色集合中删除。
4. 递归搜索所有可能的着色方案，并记录成本最小的方案。
5. 回溯到上一层搜索，重复步骤3-5直到所有顶点都被着色。

代码实现

def exact_coloring(graph, colors, used_colors, cost, v=0):
    if v >= graph.V:
        if cost < used_colors[0]:
            used_colors[0] = cost
            colors[0] = colors.copy()
        return

    # 选择所有可用的颜色进行着色
    for c in range(max_degree+1):
        # 检查相邻顶点是否使用了该颜色
        if any(colors[n] == c for n in graph.adj[v] if colors[n] != -1):
            continue

        # 未使用该颜色
        colors[v] = c
        used_colors.add(c)

        # 选择下一个未着色的顶点
        next_v = v+1
        while next_v < graph.V and colors[next_v] != -1:
            next_v += 1

        # 检查是否需要回溯
        if next_v < graph.V and used_colors[0] < cost+1:
            exact_coloring(graph, colors, used_colors, cost+1, next_v)
        else:
            exact_coloring(graph, colors, used_colors, cost+1, next_v)

        # 回溯到上一个状态
        colors[v] = -1
        used_colors.discard(c)

    return used_colors[0], colors[0]

时间复杂度

精确算法的时间复杂度通常很高，取决于搜索树的规模。在最坏情况下，搜索树的规模可以达到 ~N!，其中N为顶点数，因此算法对于大规模的问题不可行。但在实践中，使用一些优化技术可以减少搜索树的规模，从而提高算法效率。