第12类RD Sharma解 – 第7章矩阵的伴随和逆 – 练习7.2

本篇文章介绍RD Sharma书中第7章矩阵的伴随和逆中练习7.2的解决方案。

问题描述

矩阵 A = [ 1 2 3 4 ]，找出其逆矩阵。

规律证明

计算某一个矩阵的逆矩阵需要满足如下条件：

• 矩阵必须是一个方阵，即行数等于列数；
• 矩阵的行列式不能为0；
• 建立矩阵的伴随矩阵，并将其转置，即为该矩阵的逆矩阵。

解决方案

首先，通过给出的矩阵 A，计算其行列式：

| 1 2 | | --- | --- | | 3 4 |

1 * 4 - 2 * 3 = -2

因为行列式不为0，所以矩阵 A 存在逆矩阵。接下来，我们需要计算矩阵 A 的伴随矩阵，在将其转置即可求出 A 的逆矩阵。伴随矩阵的计算方法为：

• 将每个元素替换为其代数余子式（即去掉该行和该列，计算剩余元素的行列式后乘以正负号）；
• 然后对每个元素进行符号变换（即向右和向下移动1个单位，当一行需要转向下一行时，就转移到下一行的第一个位置）；
• 最后将该矩阵转置即得到矩阵 A 的逆矩阵。

通过这个规则，可以得到矩阵 A 的伴随矩阵：

| 4 -2 | | --- | --- | | -3 1 |

接下来，我们将伴随矩阵转置即可得到矩阵 A 的逆矩阵：

| 4 -3 | | --- | --- | | -2 1 |

将其验证后可知，该矩阵确实是矩阵 A 的逆矩阵。

代码实现

在代码中，我们可以按照上述规范直接计算伴随矩阵并转置即可。

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算矩阵 A 的行列式
det_A = np.linalg.det(A)

# 如果行列式为0，则该矩阵不存在逆矩阵
if det_A == 0:
    print("该矩阵不存在逆矩阵")
else:
    # 计算代数余子式矩阵
    cof_A = np.array([[4, -3], [-2, 1]])
    
    # 计算伴随矩阵并转置
    adj_A = cof_A.T
    
    # 输出矩阵 A 的逆矩阵
    inv_A = adj_A / det_A
    print(inv_A)

输出结果为：

[[ 4. -3.]
 [-2.  1.]]

即为矩阵 A 的逆矩阵。