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📜  第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 5 章矩阵代数 - 练习 5.3 |设置 3

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:14.295000             🧑  作者: Mango

第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 5 章矩阵代数 - 练习 5.3 |设置 3

问题 52. 如果 A = \begin{bmatrix}1 & 0 & -3\\2 & 1 & 3\\0 & 1 & 1\end{bmatrix} ，然后验证 A 2 + A = A (A + I)，其中 I 是单位矩阵。

解决方案：

问题 53. 如果 A = \begin{bmatrix}3 & -5\\-4 & 2\end{bmatrix} ，然后找到 A 2 – 5A – 14I。因此获得 A 3 。

解决方案：

问题 54. 证明以下内容：

(i) 如果 P(x) = \begin{bmatrix}\cos x & \sin x\\-\sin x & \cos x\end{bmatrix} ，然后证明 P(x) P(y) = P(x+y) = P(y) P(x)。

解决方案：

(ii) 如果 P = \begin{bmatrix}x & 0 & 0\\0 & y & 0\\0 & 0 & z\end{bmatrix} Q = \begin{bmatrix}a & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0 & c\end{bmatrix} , 证明 PQ = \begin{bmatrix}xa & 0 & 0\\0 & yb & 0\\0 & 0 & zc\end{bmatrix} = QP。

解决方案：

问题 55. 如果 A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\1 & -1 & 0\end{bmatrix} ，找到 A 2 – 5A + 4I 并找到一个矩阵 X 使得 A 2 – 5A + 4I + X = 0。

解决方案：

问题 56. 如果 A = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{bmatrix} , 证明 A = \begin{bmatrix}1 & n\\0 & 1\end{bmatrix} , 对于所有正整数 n。

解决方案：

问题 57. 如果 A = \begin{bmatrix}a & b\\0 & 1\end{bmatrix} , 证明 A n = \begin{bmatrix}a^n & b(\frac{a^n-1}{a-1})\\0 & 1\end{bmatrix} , 对于每个正整数 n。

解决方案：

问题 58. 如果 A = \begin{bmatrix}cos\theta & isin\theta\\isin\theta & cos\theta\end{bmatrix} , 用数学归纳原理证明 A n = \begin{bmatrix}\cos n\theta & i\sin n\theta\\i\sin n\theta & \cos n\theta\end{bmatrix} , 对于所有 n ∈ N。

解决方案：

问题 59. 如果 A = \begin{bmatrix}cos\alpha+sin\alpha & \sqrt{2}sin\alpha\\-\sqrt{2}sin\alpha & cos\alpha-sin\alpha\end{bmatrix} , 证明 A n = \begin{bmatrix}cosn\alpha+sinn\alpha & \sqrt{2}sinn\alpha\\-\sqrt{2}sinn\alpha & cosn\alpha-sinn\alpha\end{bmatrix} , 对于所有 n ∈ N。

解决方案：

问题 60. 如果 A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} , 用数学归纳原理证明 A n = \begin{bmatrix}1 & n & \frac{n(n+1)}{2}\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} 对于每个正整数 n。

解决方案：

问题 61. 如果 B, C 是 n 行方阵，并且如果 A = B + C, BC = CB, C 2 = 0, 那么证明对于每个 n ∈ N, A n+1 = B n (B + (n +1）C）。

解决方案：

问题 62. 如果 A = diag (a, b, c)，证明 A n = diag (a n , b n , c n )，对于所有正整数 n。

解决方案：

问题 63. 如果 A 是一个方阵，使用数学归纳法证明对于所有 n ∈ N 有 (A T ) N = (A N ) T。

解决方案：

问题 64.矩阵 X 有 a + b 行和 a + 2 列，而矩阵 Y 有 b + 1 行和 a + 3 列。矩阵 XY 和 YX 都存在。找到 a 和 b。你能说 XY 和 YX 是同一类型吗？他们平等吗？

解决方案：

问题 65. 举一个矩阵 A 和 B 的例子：

(一) AB≠BA

解决方案：

(ii) AB = O 但 A ≠ 0, B ≠ 0

解决方案：

(iii) AB = O 但 BA ≠ O

解决方案：

(iv) AB = AC 但 B ≠ C, A ≠ 0

解决方案：

问题 66. 设 A 和 B 是相同阶的方阵。 (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2成立吗？如果不是，为什么？

解决方案：

问题 67. 如果 A 和 B 是相同阶的方阵，请解释为什么一般

(i) (A + B) 2 ≠ A 2 + 2AB + B 2

解决方案：

(ii) (A – B) 2 ≠ A 2 – 2AB + B 2

解决方案：

(iii) (A + B) (A – B) ≠ A 2 – B 2

解决方案：

问题 68. 设 A 和 B 是 3 × 3 阶的方阵。 (AB) 2 = A 2 B 2吗？说明理由。

解决方案：

问题 69. 如果 A 和 B 是相同阶的方阵，使得 AB = BA，则证明 (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 。

解决方案：

问题 70. 让 A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix}3 & 1\\5 & 2 \\-2 & 4\end{bmatrix} 和 C = \begin{bmatrix}4 & 2\\-3 & 5\\5 & 0\end{bmatrix} .验证 AB = AC 虽然 B ≠ C，A ≠ O。

解决方案：

问题 71. 三个店主 A、B 和 C 去商店购买文具。 A 购买了 12 打笔记本、5 打钢笔和 6 打铅笔。 B 购买了 10 打笔记本、6 打钢笔和 7 打铅笔。 C 购买了 11 打笔记本、13 打钢笔和 8 打铅笔。一个笔记本需要 40 派萨，一支笔需要卢比。 1.25 和一支铅笔需要 35 派萨。使用矩阵乘法计算每个人的账单。

解决方案：

问题72，某学校的合作书店有10打物理书、8打化学书和5打数学书。他们的售价是卢比。 8.30，卢比。 3.45 和卢比。各4.50。找出商店从出售所有商品中获得的总金额。

解决方案：

问题 73. 在立法议会选举中，一个政治团体聘请了一家公关公司以三种方式宣传其候选人：电话、上门拜访和信件。给定矩阵 A 的每个联系人的成本（以 paise 为单位）为

每次联系费用

一个= \begin{bmatrix}40 \\ 100 \\50\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Telephone \\ House call \\ Letter\end{bmatrix}

在两个城市 X 和 Y 中建立的每种类型的联系人数量在矩阵 B 中给出：

电话 出诊 信

乙 = \begin{bmatrix}1000 & 500 & 5000\\ 3000 & 1000 & 10000\end{bmatrix}

求该组在 X 和 Y 两个城市的消费总额。

解决方案：

问题 74。信托基金有 30000 卢比，必须投资于两种不同类型的债券。第一个债券每年支付 5% 的利息，第二个债券每年支付 7% 的利息。使用矩阵乘法，确定如何在两种债券中分配 30000 卢比。如果信托基金必须获得每年的总利息

(i) 1800 卢比

解决方案：

(ii) 2000 卢比

解决方案：

问题 75. 为了促进为妇女建造厕所，一个组织试图通过 (i) 上门拜访 (ii) 信件和 (iii) 公告来提高认识。每种模式每次尝试的成本如下：

一世。卢比。 50

ii.卢比。 20

iii.卢比。 40

X、Y 和 Z 三个村庄的尝试次数如下：

 (i)(ii)(iii)
X400300100
Y30025075
Z500400150

使用矩阵分别找出组织为三个村庄产生的总成本。

解决方案：

问题76，A、B有2个家庭，A家庭有4男6女2小孩，B家庭有2男2女4小孩，建议男性每日热量2400，1900女性，儿童 1800 克，男性 45 克蛋白质，女性 55 克，儿童 33 克。用矩阵表示上述信息。使用矩阵乘法，计算两个家庭中每一个的卡路里和蛋白质的总需求。通过这个问题，你可以让人们对计划饮食产生什么认识？

解决方案：

问题 77. 在议会选举中，一个政党聘请了一家公关公司以三种方式宣传其候选人——电话、上门拜访和信件。每次接触的成本（以派萨为单位）在矩阵 A 中给出为

一个= \begin{bmatrix}140 \\ 200 \\ 150\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Telephone\\House calls\\Letters\end{bmatrix}

在两个城市 X 和 Y 中进行的每种类型的联系人的数量在矩阵 B 中给出为

电话 房屋 电话 信件

乙 = \begin{bmatrix}1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10000\end{bmatrix}\begin{bmatrix}City X\\City Y\end{bmatrix}

求该党在两个城市的消费总额。投票前应该考虑什么 - 政党对其社会活动的宣传活动？

解决方案：