📅 最后修改于: 2023-12-03 14:50:24.239000 🧑 作者: Mango
在图论中，加权完全图是指每个点之间都有权值的完全无向图。生成树是一棵无向树，它包含图中所有点且仅有n-1条边。生成树数即为一个图中所有生成树的数量。
Prüfer 序列是一种用唯一序列的方法表示一颗带标记有标号顶点的树。Prüfer 序列可以用来计算任意给定带有标记和编号的顶点的个数的完全导出子图的总生成树数量。
Prüfer 序列的构造如下：
在得到 Prüfer 序列之后，我们可以据此计算完全图的生成树数。
Cayley 定理指出，n 个标记的节点可以形成 n^(n-2) 棵不同的标记树。
如果我们假设 n 个标记节点在完全图中形成了一颗带标号的树，且任意两个不相邻的节点之间都有一条边相连，则我们可以据此计算完全图的生成树数量。
因此，对于一个标记了 n 个节点的完全图，它的生成树数为 n^(n-2)。
Kruskal 算法实际上是一种构造最小生成树的贪心算法。它将边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，直到生成树包含所有节点为止。
Kruskal 算法的时间复杂度为 O(m log n)，其中 n 和 m 分别为节点和边的数量。
由于完全图中总共有 n*(n-1)/2 条边，所以对于 n 个节点的完全图，Kruskal 算法的时间复杂度为 O(n^2 log n)。
Prim 算法也是一种构造最小生成树的贪心算法。它从任意一个节点开始，然后依次将与当前生成树相连且权值最小的边加入生成树中，直到生成树包含所有节点为止。
Prim 算法的时间复杂度也为 O(m log n)，其中 n 和 m 分别为节点和边的数量。
同样地，对于 n 个节点的完全图，Prim 算法的时间复杂度为 O(n^2 log n)。
本文介绍了几种计算加权完全图的生成树数的方法，包括 Prüfer 序列、Cayley 定理、Kruskal 算法、Prim 算法等。其中，Prüfer 序列和 Cayley 定理可以根据节点的数量来计算生成树数，而 Kruskal 算法和 Prim 算法可以用来构造最小生成树，并据此计算生成树数。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来计算生成树数。如果只需要计算生成树数，Prüfer 序列和 Cayley 定理是比较简单有效的方法。如果需要构造最小生成树，那么 Kruskal 算法和 Prim 算法是比较常见的选择。