完全二叉树

介绍

完全二叉树是一种特殊的二叉树，可以用数组来表示，具有以下性质：

• 若根节点编号为1，则对于任意节点i，其左子节点编号为2i，右子节点编号为2i+1。
• 若根节点编号为0，则对于任意节点i，其左子节点编号为2i+1，右子节点编号为2i+2。
• 叶子节点只会出现在最后一层或者倒数第二层，并且在同一层的节点从左到右依次排列。

由于完全二叉树的特殊性质，使得其在数据存储和算法设计上有很好的优势。

应用

完全二叉树在很多数据结构和算法中有广泛的应用，例如：

• 堆（Heap）：由于堆本身是一棵完全二叉树，所以可以使用数组来表示，从而避免了使用指针或者链表所带来的额外空间和时间的开销。
• 树状数组（Fenwick Tree）：树状数组是一种支持区间修改和单点查询的数据结构，本质上是通过将原序列转化为多个长度为2的区间，从而将区间修改变为单点修改，从而利用完全二叉树的结构来进行高效实现。
• Huffman编码：Huffman编码是一种基于贪心思想的压缩算法，可以利用完全二叉树的结构来构造哈夫曼树，从而产生更少的编码。

代码实现

下面是一个完全二叉树的实现，使用的是左子树优先的方式。

class CompleteTree:
    def __init__(self, n):
        self.capacity = 1
        while self.capacity < n:
            self.capacity *= 2
        self.tree = [0] * (2 * self.capacity)

    def __getitem__(self, index):
        return self.tree[self.capacity + index - 1]

    def __setitem__(self, index, value):
        self.tree[self.capacity + index - 1] = value
        i = (self.capacity + index - 1) // 2
        while i > 0:
            self.tree[i] = self.tree[2 * i] + self.tree[2 * i + 1]
            i //= 2

    def range_sum(self, left, right):
        result = 0
        left += self.capacity - 1
        right += self.capacity - 1
        while left <= right:
            if left % 2 == 1:
                result += self.tree[left]
                left += 1
            if right % 2 == 0:
                result += self.tree[right]
                right -= 1
            left //= 2
            right //= 2
        return result

在这个实现中，我们最初构造的时候，会根据节点数n来计算容量capacity，然后我们使用一个长度为2*capacity的数组来存储完全二叉树。其中每一个节点可以用其下标来唯一标识，因此我们可以通过数组下标来访问或修改节点的值。

对于某个节点的左右子节点，我们可以根据节点下标计算得到，即 2i 和 2i+1。同时，我们使用了一个self.tree列表来保存每个节点的值，通过其下标访问时需要注意一些偏移量，具体可以参考代码。

对于求解区间和，我们采取了左子树优先的策略，即如果节点只覆盖了一部分区间，我们先求解其左子节点所在的区间，再做相应处理。这样一来，我们就可以用log(n)的时间复杂度来实现任意区间的求和。

总结

完全二叉树是一种非常特殊的数据结构，其在数据存储和算法设计上具有很多优势，可以极大地优化程序和算法的效率。掌握完全二叉树的基本特性和常见应用，对于提升程序员的编程水平有很大的帮助，因此非常值得深入学习和研究。