所有顶点的度数之和为L的树数

在图论中，我们经常需要计算有多少棵树能满足所有顶点的度数之和为L。这是一个经典问题，并有一个简单的计算公式。

我们假设这个树有n个顶点，则所有顶点的度数之和为2(n-1)，因为每条边都有两个端点。因此，我们需要找到所有度数之和为2(n-1)的树数。

解法

为了计算度数之和为2(n-1)的树数，我们可以使用Prüfer序列。

Prüfer序列是一种将树映射为序列的方法。给定一棵树T，则它的Prüfer序列P(T)可以在以下步骤中求出：

1. 找到T中编号最小的叶子节点u（叶子节点的度数为1）；
2. 将u从T中删除，并将u的标号加入序列P(T)中；
3. 重复步骤1和步骤2直到只剩下两个节点为止。

根据Prüfer序列的长度，我们可以计算出树的节点数n。因此，如果我们知道长度为n-2的Prüfer序列的数量，就可以计算出所有度数之和为2(n-1)的树数。

根据Cayley定理，n个标号不同的节点可以形成n^(n-2)棵不同的树。但是，Prüfer序列对于树中的节点标号是不敏感的，因此一棵n个节点的树可能对应多个不同的Prüfer序列。

但是，由于每个Prüfer序列都是由n-2个数字组成的，范围在[1,n]之间，因此所有长度为n-2的Prüfer序列的数量是n^(n-3)。因此，我们可以使用以下公式计算度数之和为2(n-1)的树数：

f(L)=n^{n-3}

其中，n=(L+2)/2。由于L为偶数，因此n为整数。

代码

下面是用Python实现计算度数之和为L的树数的函数：

def count_trees(L):
    n = (L + 2) // 2
    return n ** (n - 3)

这个函数接受一个参数L，返回所有顶点的度数之和为L的树数。

结论

计算度数之和为L的树数的时间复杂度为O(1)。这个问题可以通过简单的公式计算得到。