通过给定运算计算数组计数

问题描述

给定一个包含n个非负整数的数组nums，一个正整数k和一些运算符，例如“+”，“-”，“*”，“/”和“^”。 通过使用至少k个运算符并对数组中的元素进行计算，编写函数以确定是否可以生成一个数组，其中对于数组中的每个元素，都存在一个等式，使得此等式的结果大于所有给定数组元素的XOR。

函数签名

def count_arrays(nums: List[int], k: int, operators: List[str]) -> int:
    pass

输入

• nums：一个包含n个非负整数的数组，$0 \le nums_i \le 2^{31}-1$
• k：正整数，表示至少要使用的运算符数量
• operators：一个包含至少k个运算符的字符串数组

输出

• 返回一个整数，表示满足要求的数组的数量。

思路

首先，我们可以思考一个简单的问题：如何判断一个等式的结果是否大于所有给定数组元素的XOR？

注意到对于任何整数$a,b$，都有$x \operatorname{xor} a > x \operatorname{xor} b$当且仅当$a>b$。因此，在考虑题目所述问题的条件时，我们可以将其稍微转换一下，变成求是否可以生成一个数组，使得对于其中的每个元素x，都存在一个参数p（可以是数组中的元素，也可以是其他值），使得$x \operatorname{op} p >$ 数组中所有元素的XOR。

那么，接下来的问题是如何生成这个数组。题目给定了数组中的元素和可用运算符，因此，我们可以考虑生成所有的可能性（在运算符数量不超过k的情况下），并判断是否满足上述条件。如果满足条件，则计数器增加1。最后返回计数器的值即可。

生成所有可能性的方法可以使用DFS（深度优先搜索）算法。

代码实现

from typing import List

def count_arrays(nums: List[int], k: int, operators: List[str]) -> int:
    def dfs(x, oprs, cur_xor):
        if x == len(nums):
            if cur_xor > mx:
                res[0] += 1
            return
        for i in range(len(nums)):
            if not vis[i]:
                vis[i] = True
                for opr in oprs:
                    if opr == '+':
                        dfs(x+1, oprs, cur_xor+nums[i])
                    elif opr == '-':
                        dfs(x+1, oprs, cur_xor-nums[i])
                    elif opr == '*':
                        dfs(x+1, oprs, cur_xor*nums[i])
                    elif opr == '/':
                        if nums[i] != 0:
                            dfs(x+1, oprs, cur_xor//nums[i])
                    elif opr == '^':
                        dfs(x+1, oprs, cur_xor^nums[i])
                vis[i] = False
    mx = max(nums)  # 找出数组中最大的元素，用于辅助判断是否符合要求
    vis = [False for _ in range(len(nums))]  # 用于记录是否已访问某个元素
    res = [0]  # 计数器
    dfs(0, operators, 0)
    return res[0]

代码很简单，我们先找出数组中最大的元素mx，然后在dfs过程中，对于每个元素x，枚举其中的每个操作符进行计算。如果计算结果大于mx，则增加计数器的值。

最后输出计数器即可。

测试

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
k = 2
operators = ['+', '-', '*', '/', '^']
print(count_arrays(nums, k, operators))  # 17

总结

这是一道比较有趣的问题，难点在于如何确定一个数组是否符合要求。同时，本题还需要使用DFS进行遍历，因此如果熟悉DFS算法，在理解题目和写代码上可节省不少时间。