使得 (Ai & Aj) = 0 的有序对的数量

简介

这个主题涉及到通过编程计算使得两个数的按位与（bitwise AND）得到 0 的有序对的数量。这个问题可以通过各种编程语言进行解决，如 Python、C++、Java 等。

问题描述

给定一个整数数组 A，要求计算有多少个有序对 (Ai, Aj) 满足 (Ai & Aj) = 0，其中 0 <= i < j < len(A)。

解决方案

一种简单的解决方案是通过两层循环来遍历数组 A 中的所有有序对，并计算它们的按位与。然后统计满足条件的有序对的数量。这种解决方案的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组 A 的长度。

下面是一个简单的 Python 示例代码：

def count_zero_and_pairs(arr):
    count = 0
    n = len(arr)
    for i in range(n-1):
        for j in range(i+1, n):
            if (arr[i] & arr[j]) == 0:
                count += 1
    return count

# 测试代码
A = [1, 2, 3, 4, 5]
result = count_zero_and_pairs(A)
print("The number of zero-and pairs: ", result)

优化的解决方案

上述的解决方案的时间复杂度较高，可以使用一种优化的方法来提高计算效率。

观察问题可知，要使 (Ai & Aj) = 0，必须满足 Ai 和 Aj 的二进制表示中，至少有一位是不同的。所以对于每个数 Ai，我们只需要找到与其不同的数 Aj 的数量。假设 Ai 的二进制表示有 k 位为 1，那么与其不同的数 Aj 就具有 n-k 位为 0，其中 n 是整数的二进制位数。

基于这个观察，我们可以通过统计每一个数的二进制位 0 和 1 的个数，然后计算与其不同的数的数量，最后将所有的数量相加即可。这个优化解决方案的时间复杂度为 O(n * log(max(A)))，其中 A 是数组中的最大整数。

下面是优化的 Python 示例代码：

def count_zero_and_pairs(arr):
    count = 0
    n = len(arr)
    max_num = max(arr)
    max_bits = len(bin(max_num))-2
    for bit in range(max_bits):
        ones_count = 0
        for i in range(n):
            if arr[i] & (1 << bit):
                ones_count += 1
        zeros_count = n - ones_count
        count += zeros_count * ones_count
    return count

# 测试代码
A = [1, 2, 3, 4, 5]
result = count_zero_and_pairs(A)
print("The number of zero-and pairs: ", result)

结论

通过编程计算使得两个数的按位与得到 0 的有序对的数量可以使用两种解决方案：简单的双层循环方法和优化的方法。优化的方法可以更高效地计算，并且时间复杂度较低。具体选择哪种方法取决于输入数据的规模和程序性能的要求。