有序对的数量，使得 (Ai & Aj) = 0

在计算机科学中，我们经常遇到需要计算有序对数量的问题。这篇文章将介绍如何计算有序对的数量，使得它们的按位与（&）等于零。

什么是按位与（&）运算符？

按位与（&）运算符是计算机编程中的一种逻辑运算符。它将两个操作数的每个对应位进行比较，如果两个位都是 1，则结果为 1；否则结果为 0。例如，以下是一个按位与运算的示例：

1101 (十进制为 13)
& 1010 (十进制为 10)
------
1000 (十进制为 8)

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 A，计算有序对 (i, j) 的数量，满足 i < j 且 A[i] & A[j] = 0。其中 & 表示按位与（&）运算符。

解决方案

我们可以使用位运算和排列组合来计算有序对的数量。具体来说，我们可以将问题转化为计算有多少个元素的二进制表示中没有相同的 1 位。

这个问题的解决方案是排列组合，因为我们可以将每个数分解成一些 2 的幂的和并计算各自的贡献。例如，假设一个数是：

101101 (十进制为 45)

那么它可以分解为：

2^2 + 2^3 + 2^5 = 4 + 8 + 32

最终，我们可以计算出该数的贡献为：

C(2, 1) * C(3, 1) * C(5, 1) = 2 * 3 * 5 = 30

其中，C(n, k) 是从 n 个不同元素中挑选 k 个元素的组合数。

接下来，我们可以遍历整个数组 A，并计算其中每个元素的贡献。最后，我们将所有元素的贡献相加，即得到问题的解。下面是该算法的伪代码：

count = 0
for i = 0 to n - 1 do
    v = A[i]
    contribution = 1
    while v > 0 do
        if (v bitand 1) = 1 then
            count1s = 0
            for j = 0 to i - 1 do
                if (A[j] bitand (1 << k)) > 0 then
                    count1s++
                end if
            end for
            contribution *= C(count1s, 0)
        else
            count0s = 0
            for j = 0 to i - 1 do
                if (A[j] bitand (1 << k)) = 0 then
                    count0s++
                end if
            end for
            contribution *= C(count0s, 1)
        end if
        v >>= 1
    end while
    count += contribution
end for
return count

在上面的伪代码中，我们首先计算了每个元素的二进制贡献。接下来，我们可以使用两个循环来计算当前元素的贡献。对于一个当前位为 1 的二进制位，我们需要计算前面有多少个元素也包含该位置为 1 的位；对于一个当前位为 0 的二进制位，我们需要计算前面有多少个元素不包含该位置为 0 的位。

最终，我们将贡献相乘，再将所有元素的贡献相加，即得到问题的解。

总结

这篇文章介绍了如何计算有序对的数量，使得它们的按位与等于零。具体来说，我们可以使用位运算和排列组合来计算每个元素的贡献，并计算它们的总贡献。这个算法的时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度是 O(1)。