寻找有序对数量的算法

本算法旨在寻找满足 $a * p + b * q = N$ 的有序对数量，其中 $p$ 和 $q$ 均为质数。

算法思路

该算法的思路基于素数筛法以及数学中的“裴蜀定理”。

裴蜀定理即，对于整数 $a, b$，其最大公约数为 $d$ 时，方程 $ax+by=c$ 有整数解当且仅当 $d|c$。

将裴蜀定理应用到 $a * p + b * q = N$ 上，可以将其转化为 $ax+by=c$ 的形式，其中 $a=p$，$b=q$，$c=N$。此时若 $p,q$ 互质，则该方程有无穷多组整数解，否则有有限个整数解。

因此，我们可以首先筛选出不超过 $\sqrt{N}$ 的素数，遍历每对素数 $(p,q)$，判断是否满足 $p,q$ 互质。对于每组满足条件的素数 $(p,q)$，根据裴蜀定理求出对应的整数解的个数，并累加到答案中。

代码实现

下面是 Python 实现的示例代码：

def count_ordered_pairs(N):
    # 筛选出不超过sqrt(N)的素数
    primes = []
    is_prime = [True] * (int(N**0.5) + 1)
    for i in range(2, int(N**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, int(N**0.5) + 1, i):
                is_prime[j] = False
    
    # 遍历每对素数(p, q)，计算对应的整数解并累加
    ans = 0
    for p in primes:
        for q in primes:
            if p*q > N:
                break
            if math.gcd(p, q) == 1:
                x, y = extended_euclidean_algorithm(p, q, N)
                if x != None:
                    ans += 1
    
    return ans

其中 extended_euclidean_algorithm 是扩展欧几里得算法，用于解决裴蜀定理所对应的一元线性方程。

性能分析

算法的时间复杂度与筛素数的算法有关，一般情况下可以认为其时间复杂度为 $O(\sqrt{N}\log{\log{N}})$。其空间复杂度为 $O(\sqrt{N})$。由于算法在数学上有较好的理论支持，计算结果较为精确。

参考文献

1. 《算法竞赛入门经典》
2. 《算法导论》