最低成本路径 | DP-6

最低成本路径是一类典型的动态规划问题，涉及到在一个网格中找到一条从起点到终点的路径，使得路径经过的子网格之和最小。

问题描述

给定一个 $m\times n$ 的网格，每个子网格都有一个数字表示经过这个子网格的代价。要从左上角的网格出发，到达右下角的网格。你只能向右或向下移动，不能向上或向左。

求出从起点到终点的最小代价路径，即最低成本路径。

解决方法

动态规划

动态规划是一种常用的解决最优化问题的算法。解决这种类型问题的基本思路是将问题拆分成若干子问题，并且用递归式的方法将子问题的结果合并起来，得出最终答案。

在本问题中，我们可以利用动态规划求解最低成本路径的问题。具体地，我们可以定义一个 $m\times n$ 的状态矩阵 $dp$，其中 $dp_{i,j}$ 表示从起点到网格 $(i,j)$ 的最小路径代价。状态转移方程如下：

$dp_{i,j}=\min {dp_{i-1,j},dp_{i,j-1}}+cost(i,j)$

其中 $cost(i,j)$ 表示经过网格 $(i,j)$ 的代价。即在达到 $(i,j)$ 的位置时，选择从 $(i-1,j)$ 或者 $(i,j-1)$ 这两个位置中代价最小的那个位置继续向下或向右走，并将其加上 $(i,j)$ 的代价值 $cost(i,j)$。

最终的答案即为 $dp_{m,n}$，即从起点到终点的最低成本路径。

代码实现

下面是最低成本路径问题的代码实现。假设输入的网格大小为 $m\times n$，网格中每个子网格的代价用 $costs$ 数组表示，输出为最低成本路径的代价和。

int minPathSum(vector<vector<int>>& costs) {
    if (costs.empty() || costs[0].empty()) {
        return 0;
    }
    int m = costs.size(), n = costs[0].size();
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
    dp[0][0] = costs[0][0];
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + costs[i][0];
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        dp[0][i] = dp[0][i - 1] + costs[0][i];
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + costs[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}

总结

最低成本路径问题是一类经典的动态规划问题，可以采用动态规划的方法求解。在解决这种问题时，我们可以采用定义状态矩阵的方式，定义状态转移方程，从而通过递推的方式求解出最终的答案。

本文中给出了最低成本路径问题的动态规划解法，并给出了相应的代码实现。通过这些内容的学习，希望您可以对动态规划问题有更加深入的了解和掌握。