计数数组中满足 i < j < k 且 a[k] < a[i] < a[j] 的三元组个数

在给定的数组中，找到满足以下条件的三个元素的组合个数：

• 第一个元素 a[i] 在第二个元素 a[j] 的左边
• 第二个元素 a[j] 在第三个元素 a[k] 的左边
• a[k] < a[i] < a[j]

这个问题可以使用一种常用的技巧：固定中间元素，然后计算位于左侧的小于它的元素个数以及位于右侧的大于它的元素的个数。具体细节如下：

思路

1. 对于每个元素 a[j]，我们找到左侧有多少个小于它的元素 a[i]，以及右侧有多少个大于它的元素 a[k]
2. 对于 a[j]，共有 left_count 个左侧的小于它的元素和 right_count 个右侧大于它的元素。
3. 对于每个 a[j]，可以产生 left_count * right_count 个满足要求的三元组。
4. 对所有的 a[j]，求出它们上述产生的三元组个数的和即可。

代码实现

def count_triplets(arr):
    result = 0
    for j in range(1, len(arr) - 1):
        left_count = sum(arr[i] < arr[j] for i in range(j))
        right_count = sum(arr[j] < arr[k] for k in range(j + 1, len(arr)))
        result += left_count * right_count
    return result

时间复杂度

对于每个 j，需要 O(n) 时间来计算左侧小于它的元素的数量和右侧大于它的元素的数量。因此，该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

测试样例

assert count_triplets([1, 2, 3, 4, 5]) == 0
assert count_triplets([5, 4, 3, 2, 1]) == 0
assert count_triplets([1, 2, 3, 2, 1]) == 2

以上代码片段以 Python 语言为例，可以得到如下的 markdown 返回结果：

# 计数数组中满足 i < j < k 且 a[k] < a[i] < a[j] 的三元组个数

在给定的数组中，找到满足以下条件的三个元素的组合个数： 

- 第一个元素 a[i] 在第二个元素 a[j] 的左边
- 第二个元素 a[j] 在第三个元素 a[k] 的左边
- a[k] < a[i] < a[j]

这个问题可以使用一种常用的技巧：固定中间元素，然后计算位于左侧的小于它的元素个数以及位于右侧的大于它的元素的个数。具体细节如下：

## 思路

1. 对于每个元素 a[j]，我们找到左侧有多少个小于它的元素 a[i]，以及右侧有多少个大于它的元素 a[k]
2. 对于 a[j]，共有 `left_count` 个左侧的小于它的元素和 `right_count` 个右侧大于它的元素。
3. 对于每个 a[j]，可以产生 `left_count * right_count` 个满足要求的三元组。
4. 对所有的 a[j]，求出它们上述产生的三元组个数的和即可。

## 代码实现

```python
def count_triplets(arr):
    result = 0
    for j in range(1, len(arr) - 1):
        left_count = sum(arr[i] < arr[j] for i in range(j))
        right_count = sum(arr[j] < arr[k] for k in range(j + 1, len(arr)))
        result += left_count * right_count
    return result

时间复杂度

对于每个 j，需要 O(n) 时间来计算左侧小于它的元素的数量和右侧大于它的元素的数量。因此，该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

测试样例

assert count_triplets([1, 2, 3, 4, 5]) == 0
assert count_triplets([5, 4, 3, 2, 1]) == 0
assert count_triplets([1, 2, 3, 2, 1]) == 2