二进制数组中的最小翻转

题目描述

给定一个只包含0和1的二进制数组A和一个正整数K，找到使得大小为K的连续子数组的XOR具有不同的奇偶校验的最小翻转次数。

示例

输入: A = [1,0,0,1,0,0,1], K = 3
输出: 2
解释: 翻转后数组变为 [0,0,1,1,0,0,1]，子数组 [1,0,0] 和 [0,0,1] 的 XOR 值不同。

思路

对于给定的数组A和正整数K，可以先判断A的长度与K的大小关系，若A的长度小于K，则无法找到任何大小为K的连续子数组；若A的长度等于K，则只需将其中一个0/1翻转即可满足条件；若A的长度大于K，则可以通过统计每个长度为K的子数组中1的个数来判断翻转的次数。

对于每个长度为K的子数组，可以分别计算其中1的个数和0的个数，然后根据奇偶性来判断XOR的奇偶校验是否不同，若不同，则不需要进行翻转，反之则需要将该子数组的一些0/1翻转才能满足条件。

具体可以采用滑动窗口的思想，利用两个指针来遍历整个数组，并记录每个长度为K的子数组中1的个数和0的个数。若当前子数组中1的个数和0的个数都为偶数或都为奇数，说明当前子数组的XOR奇偶校验为偶数，需要将一个0/1翻转，使得其奇偶性变为奇数。而若当前子数组中1的个数和0的个数分别为奇数和偶数，或分别为偶数和奇数，则当前子数组的XOR奇偶校验为奇数，因此需要将另一个0/1翻转，使得其奇偶性变为偶数。最后累计翻转次数即为所求。

代码实现

class Solution:
    def minKBitFlips(self, A: List[int], K: int) -> int:
        n = len(A)
        cnt, res = 0, 0
        for i in range(n):
            if i >= K and A[i-K] > 1:
                cnt ^= 1
                A[i-K] -= 2
            if cnt == A[i]:
                if i + K > n:
                    return -1 # 无法满足条件
                A[i] += 2
                cnt ^= 1
                res += 1
        return res

代码说明：

• 我们利用cnt来记录当前子数组中1的个数和0的个数之间的差距，若为0则两者相等，说明当前子数组的XOR奇偶校验为偶数，需要进行翻转。
• 我们使用一个for循环来遍历整个数组，其中i表示当前处理的位置。
• 对于每个i，我们首先判断是否需要还原之前的状态：
  • 若i大于等于K，说明当前位置要去掉一个长度为K的子数组的头，因此需要还原该子数组的头元素，即A[i-K]，并将其改为0或1；
  • 对于需要还原状态的元素，我们使用A[i-K] > 1的条件来判断该元素是否需要还原，因为需要还原的元素可能为0或1，因此我们使用2来表示还原后的状态，例如原来的元素为0，还原后为1时，使用"A[i-K] + 2"表示。
  • 对于已经还原状态的元素，保持不变，继续处理下一个位置。
• 若当前子数组的XOR奇偶校验为偶数，则需要进行翻转：
  • 判断当前位置是否越界，若越界则无法满足条件，直接返回-1；
  • 将当前位置的元素翻转，即将A[i]加2，表示原来为0的元素变为1，若原来为1的元素变为0；
  • 更新cnt，并将res加1，表示当前位置需要翻转一次。
• 最后将累计的翻转次数返回即可。

复杂度分析

• 时间复杂度：对于每个位置i，至多遍历一次，因此时间复杂度为O(n)。
• 空间复杂度：每次需要还原状态时，需要额外记录一个状态，因此空间复杂度为O(K)。