将数组分解为最大数量的子数组，使它们的平均值相同

给定一个整数数组，我们希望将其分解为最大数量的子数组，使得每个子数组的元素之和相等。也就是要将数组分解为最大数量的子数组，并使这些子数组的平均值相同。

解题思路

首先，我们需要找到这些分解出的子数组的平均值。假设这个平均值为 avg，数组的总和为 sum，数组的长度为 n。那么，我们可以得到以下的等式：

sum / n = avg

因此，我们可以通过计算 avg 来得到每个子数组的元素之和。

接着，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。我们定义一个二维的数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将数组的前 i 个元素分成 j 个子数组所需要的最小代价。

我们可以根据以下的递推式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[k][j - 1] + cost(k + 1, i))，其中 0 <= k < i

其中，cost(i, j) 表示数组中从第 i 个元素到第 j 个元素之和与 avg 的差的平方。也就是说：

cost(i, j) = (sum[i, j] - j + i - sum[0, i - 1])^2，其中 sum[i, j] 表示数组的第 i 个元素到第 j 个元素之和

最终，我们可以得到结果：

dp[n][k]，其中 1 <= k <= n

代码实现

def splitArray(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0

    # 计算数组的总和
    total = sum(nums)

    # 计算每个子数组的平均值
    avg = total / n

    # 初始化 dp 数组
    dp = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0

    # 计算 cost 数组
    cost = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                cost[i][j] = (nums[i] - avg) ** 2
            else:
                cost[i][j] = (sum(nums[i:j+1]) - avg * (j - i + 1)) ** 2

    # 使用动态规划计算 dp 数组
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = cost[0][i-1]
            else:
                for k in range(j-1, i):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + cost[k][i-1])

    # 返回结果
    return dp[n][n]

时间复杂度分析

该算法最主要的时间消耗在动态规划的计算上。计算 dp[i][j] 时，需要枚举 k，因此总的时间复杂度为 $O(n^3)$。