给定2D数组中的最小和子矩阵

在一个2D数组中寻找一个最小的子矩阵，并返回这个子矩阵的和。

解题思路

解决这个问题的常见方法是利用动态规划，通过预处理出前缀和数组来降低时间复杂度。

具体来说，我们首先定义一个二维前缀和数组dp，其中dp[i][j]表示以点(0,0)为左上角，以点(i,j)为右下角的矩形中所有元素的和。

然后，我们对于二维数组中的每一个位置，计算出它与(0,0)之间的矩形的和，并存储到对应的位置中。这个过程可以使用两重循环实现，时间复杂度为$O(n^2)$。

接着，我们枚举所有的子矩阵，并计算出它们的和。在这个过程中，利用前缀和数组可以将子矩阵的计算时间降为$O(1)$，因此总时间复杂度为$O(n^4)$。

最后，我们选出和最小的子矩阵并返回。

代码实现

def min_submatrix(matrix):
    # 预处理前缀和数组
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]
    
    # 找到和最小的子矩阵
    min_sum = float('inf')
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            for x in range(i, n + 1):
                for y in range(j, m + 1):
                    cur_sum = dp[x][y] - dp[x][j - 1] - dp[i - 1][y] + dp[i - 1][j - 1]
                    if cur_sum < min_sum:
                        min_sum = cur_sum
    
    return min_sum

总结

2D数组中的最小和子矩阵问题可以通过动态规划来解决，利用前缀和数组可以在枚举子矩阵的过程中降低时间复杂度。这个问题的时间复杂度为$O(n^4)$。