问题19

本题是关于数据结构的问题，需要实现一个二叉查找树（BST）的两个方法。

问题描述

请实现一个 BinarySearchTree （二叉查找树）类，具有以下两个方法：

1. search(val) ：查找树中是否存在值为 val 的节点。
2. insert(val) ：向树中插入值为 val 的节点。

如下所示为 BST 的示例图：

    4
   / \
  2   7
 / \
1   3

解题方法

我们可以用一个类来表示二叉查找树中的一个节点，该节点需要包含该节点的值、左右子节点以及用于比较节点值的方法。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right
    
    def __lt__(self, other):
        return self.val < other
    
    def __eq__(self, other):
        return self.val == other
    
    def __gt__(self, other):
        return self.val > other

接下来，我们可以使用 TreeNode 类来实现 BinarySearchTree 类。

在 BinarySearchTree 类中，我们需要维护一个指向根节点的 root 属性。

class BinarySearchTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

然后，我们可以在 BinarySearchTree 类中实现以下两个方法：

1. search(val) ：查找树中是否存在值为 val 的节点。

   在 BST 中查找节点的方法为，从根节点开始，如果查找的值大于当前节点值，则在右子树中继续查找，如果查找的值小于当前节点值，则在左子树中继续查找。 如果查找到的节点值与目标值相等，则返回 True，否则返回 False。

   def search(self, val):
       node = self.root
       while node:
           if node == val:
               return True
           elif node > val:
               node = node.left
           else:
               node = node.right
       return False
   

2. insert(val) ：向树中插入值为 val 的节点。

   在 BST 中，向树中插入节点的方法为，从根节点开始，如果插入的值大于当前节点值，则在右子树中继续查找，如果插入的值小于当前节点值，则在左子树中继续查找，直到找到可以插入节点的位置。然后，将新节点插入到该位置。

   def insert(self, val):
       node = self.root
       if not node:
           self.root = TreeNode(val)
           return
       while node:
           if node > val:
               if not node.left:
                   node.left = TreeNode(val)
                   return
               node = node.left
           else:
               if not node.right:
                   node.right = TreeNode(val)
                   return
               node = node.right
   

复杂度分析

在 BST 中，查找和插入一个节点的时间复杂度均为 $O(\log n)$，其中 $n$ 表示节点数。

总结

在二叉查找树的实现中，我们需要实现节点类以及 search 和 insert 两个方法。二叉查找树的查找和插入方法的时间复杂度都是 $O(\log n)$，因此二叉查找树可以非常高效地解决许多数据结构问题。