部门公式 – 内部和外部部门 | 坐标几何

简介

部门公式是指计算凸多边形内部以及外部点到多边形边界的最短距离的一种方法。该公式也被称为多边形距离公式、点到凸包的距离和垂线长等。

在计算机图形学中，该公式常被用于进行点与多边形之间的碰撞检测，以及计算物体间的最短距离等。

内部部门公式

对于一个凸多边形而言，内部部门公式的计算方法较为简单。

当给定点在凸多边形内部时，其到多边形边界的最短距离可以直接计算出来。计算方法如下：

1. 对于凸多边形的每一条边，计算该点到该边的距离。
2. 取所有距离中的最小值，即为点到凸多边形的最短距离。

这也意味着，当点不在凸多边形内部时，计算出来的值也可能是负数。此时，可以认为点到多边形的距离为0。

下面是内部部门公式的实现代码片段：

def point_inside_polygon(point, polygon):
    """
    计算点到凸多边形内部的最短距离
    """
    min_dist = float("inf") # 初始化最短距离为无穷大
    for i in range(len(polygon)):
        j = (i + 1) % len(polygon) # 计算下一个点的索引
        edge_start = polygon[i]   # 边的起点
        edge_end = polygon[j]     # 边的终点

        # 计算点到直线的距离
        dist = (edge_end[0] - edge_start[0]) * (edge_start[1] - point[1]) - \
               (edge_start[0] - point[0]) * (edge_end[1] - edge_start[1])

        # 取绝对值
        dist = abs(dist)

        # 更新最短距离
        min_dist = min(min_dist, dist)

    return min_dist

外部部门公式

当给定点不在凸多边形内部时，需要使用外部部门公式来计算点到多边形的最短距离。

外部部门公式的具体计算方法如下：

1. 首先，需要对多边形进行凸壳处理，得到凸多边形。
2. 从给定点出发，引一条射线，计算该射线与凸多边形的交点。
3. 计算点到该交点的距离，即为该点到凸多边形的最短距离。

下面是外部部门公式的实现代码片段：

def point_outside_polygon(point, polygon):
    """
    计算点到凸多边形外部的最短距离
    """
    conv_hull = convex_hull(polygon) # 计算凸包

    # 寻找射线与凸多边形的交点
    x_min = min([p[0] for p in conv_hull])
    x_max = max([p[0] for p in conv_hull])
    y_min = min([p[1] for p in conv_hull])
    y_max = max([p[1] for p in conv_hull])

    if point[0] < x_min:
        intersection = (x_min, point[1])
    elif point[0] > x_max:
        intersection = (x_max, point[1])
    elif point[1] < y_min:
        intersection = (point[0], y_min)
    else:
        intersection = (point[0], y_max)

    return distance(point, intersection) # 计算距离

总结

部门公式是计算点到凸多边形的最短距离的一种方法。对于凸多边形内部的点而言，使用内部部门公式可以直接计算出其到多边形边界的最短距离。而对于凸多边形外部的点，则需要使用外部部门公式来计算距离。