概述

本文介绍如何通过已知直角三角形中的一个角和两条边，来查找另外两个角的度数和第三条边的长度。

解法

下面我们来分别讨论已知两边和一个角的情况和已知一边和两个角的情况。

已知两边和一个角

假设一个直角三角形的三个角度分别为 $\alpha, \beta, \gamma$，对应的三条边分别为 $a, b, c$，其中 $c$ 为斜边。

假设已知角度 $\alpha$ 和边 $a, c$，我们的任务是求出 $\beta, \gamma$ 和 $b$。

首先，我们可以利用三角形的内角和为 $180^{\circ}$ 的性质，得出 $\beta + \gamma = 90^{\circ}$。

然后，利用正弦定理，得到：

$$\frac{b}{\sin\gamma}=\frac{c}{\sin\alpha}$$

从而可以解得：

$$b=c\cdot\sin\gamma/\sin\alpha$$

综上，我们可以用以下代码片段实现这个算法：

import math

def find_other_two_edges_and_angles_given_angle_and_two_edges(alpha, a, c):
    # 计算 beta, gamma
    beta = 90 - alpha
    gamma = 90 - beta

    # 计算 b
    b = c * math.sin(gamma) / math.sin(alpha)

    return beta, gamma, b

已知一边和两个角

假设已知边 $c$ 和角度 $\beta, \gamma$，我们的任务是求出 $\alpha$ 和两条边 $a, b$。

这种情况下，我们可以利用 $\beta + \gamma = 90^{\circ}$ 和正弦定理来求解。

具体来说，我们有：

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

$$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\alpha}$$

将第一个式子代入第二个式子得到：

$$b=c\cdot\sin\beta/\sin\gamma$$

然后利用 $\beta + \gamma = 90^{\circ}$，得到：

$$\sin\beta=\cos\gamma$$

最后，我们可以用以下代码片段实现这个算法：

import math

def find_other_two_edges_and_angles_given_edge_and_angles(beta, gamma, c):
    # 计算 alpha
    alpha = 90 - beta - gamma

    # 计算 a 和 b
    a = c * math.sin(alpha) / math.sin(gamma)
    b = c * math.sin(beta) / math.sin(gamma)

    return alpha, a, b

结论

通过上述两段代码，我们可以实现已知一个直角三角形的一个角和两条边，或者一条边和两个角，来查找其他两个角的度数和第三条边的长度。