最小化从给定字符串中挑选 K 个唯一子序列的总成本

问题描述

给定一个字符串，你需要从中选择 K 个唯一子序列。

对于每个子序列，我们可以计算选择它的成本。

我们希望最小化从给定字符串中挑选 K 个子序列的总成本。

算法介绍

这是一个非常典型的动态规划问题，时间复杂度为 O(n*K)。

1. 定义状态

我们定义 dp[i][j] 表示对于字符串的前 i 个字符，选择 j 个唯一子序列时的最小成本。

2. 状态转移方程

• 当前字符不在子序列中

  我们可以选择不在当前子序列中，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]

• 当前字符在子序列中

  如果当前字符是第一次出现，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

  如果当前字符不是第一次出现，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j] + prevCost

  其中，prevCost 表示从上一次出现的位置更新到这次出现的位置的成本。

3. 初始状态

我们定义 dp[0][0] = 0。

4. 返回值

我们需要返回 dp[n][k]，其中 n 表示字符串长度。

代码实现

下面是 Python 的代码实现（时间复杂度为 O(n*K)）：

def minCost(s, K):
    n = len(s)
    dp = [[float('inf')] * (K+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0

    last = {}
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = 0
        if s[i-1] not in last:
            last[s[i-1]] = i-1
        for j in range(1, K+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if s[i-1] in last:
                prev = last[s[i-1]]
                if dp[prev][j-1] != float('inf'):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[prev][j-1] + i-prev-1)
            if dp[i-1][j] != float('inf'):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j])

        last[s[i-1]] = i-1

    return dp[n][K]

总结

本文介绍了一个典型的动态规划问题，即最小化从给定字符串中挑选 K 个唯一子序列的总成本。

我们需要定义状态、状态转移方程、初始状态和返回值，并实现时间复杂度为 O(n*K) 的算法。

希望本文能够对程序员们的算法学习有所帮助。