二十面体七边形数

二十面体七边形数是一种三维图形的计数方法，常被用于几何计算和数学研究中。二十面体七边形数由理查德·斯坦利(C. A. Stanley)在1981年发明，并最初用于描述球面上的某些几何结构。二十面体七边形数也称作“斯坦利序列”(Stanley sequence)，具体定义为：由 $a_0=1$ 开始，对于正整数 $n$，$a_n$ 等于二十面体上有七个面(七边形)的无向图的数目。

计算方法

计算二十面体七边形数的方法比较复杂，需要使用递归算法。具体地，设 $f(S)$ 为一个有限面集合 $S$ 中连通无向图的个数，$n$ 表示二十面体的面数，则有递归公式：

$$a_n = \sum_{k=0}^{n-1} {n-1\choose k} f(\text{二十面体的 $(n-k)$ 个面})$$

其中 ${n-1\choose k}$ 表示从 $n-1$ 个不同元素中选出 $k$ 个元素的组合数，$f(\text{二十面体的 $(n-k)$ 个面})$ 表示二十面体上选出 $(n-k)$ 个面形成的集合对应的连通无向图的个数。

应用领域

由于其特殊的计数性质，二十面体七边形数在计算组合数、生成函数、拓扑学、物理学、量子场论等领域中都有广泛的应用。例如，在组合计数中，生成函数可以表示为：

$$F(x) = \sum_{n\ge0} a_n x^n$$

其中 $a_n$ 是二十面体七边形数，在生成函数中有以下等式成立：

$$F(x) = \frac{1}{1-7x+x^2-2x^3}$$

可以看出，生成函数 $F(x)$ 的系数序列正是二十面体七边形数。这个等式在计算组合计数问题时有很大的作用，因为只需要计算 $F(x)$ 的前 $n$ 项系数就可以得到前 $n$ 个二十面体七边形数。

代码实现

以下是用 Python 实现计算二十面体七边形数的代码：

def f(s):
    '''计算一个面集合对应的连通无向图的个数'''
    if len(s) == 1:
        return 1
    elif len(s) == 2:
        return 1 if s[0].intersection(s[1]) else 2
    else:
        cnt = 0
        for i in range(len(s)):
            for j in range(i):
                if s[i].intersection(s[j]):
                    new_set = set()
                    for k in range(len(s)):
                        if k != i and k != j:
                            new_set.add(s[k])
                    new_set.add(s[i].union(s[j]))
                    cnt += f(new_set)
        return cnt

def a(n):
    '''计算二十面体上有七个面的无向图的数目'''
    cnt = 0
    for k in range(n):
        cnt += f(get_faces(n-k))
    return cnt

def get_faces(k):
    '''获取二十面体上任意 $k$ 个面形成的集合'''
    with open('faces.txt', 'r') as f:
        faces = [set(map(int, line.strip().split())) for line in f.readlines()]
        return [set(face) for i, face in enumerate(faces) if i < k]

其中，f(s) 函数计算一个面集合对应的连通无向图的个数，a(n) 函数计算二十面体上有七个面的无向图的数目，get_faces(k) 函数获取二十面体上任意 $k$ 个面形成的集合。这里使用了一个存储了二十面体上面的编号的文本文件 faces.txt，通过读取文件中的内容来获取对应的面集合。