寻找三元组使得3A + 5B + 7C = N

问题描述

给定一个整数N，寻找一个三元组(A, B, C)，使得3A + 5B + 7C等于N。如果有多组解，只需要返回其中一个。

解决方法

思路

这种问题可以使用数学方法来解决，具体来说，我们只需要两个基本定理：

• 1、如果a和b是整数，且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by都可以写成d的倍数。
• 2、贝祖定理：对于任何整数a和b，它们的最大公约数可以写成ax+by的形式，其中x和y是整数。

所以，我们可以用第二个基本定理来表示3A + 5B等于N - 7C，然后对于A和B，我们可以选择gcd(3, 5)，也就是1。这样我们就得到了2个一次不定方程，把它们转化为【扩展欧几里得算法】的形式，就可以用求解这个二元一次方程的方法来解决这个问题了。

代码实现

def find_triple(N: int) -> tuple:
    def ext_euclid(a, b):
        if b == 0:
            return a, 1, 0
        else:
            d, x, y = ext_euclid(b, a % b)
            x, y = y, x - a // b * y
            return d, x, y

    d, x, y = ext_euclid(3, 5)
    A, B = x * (N - 7 * C) // d, y * (N - 7 * C) // d

    return A, B, C

总结

这个问题可以用扩展欧几里得算法来解决，通过求解两个一次不定方程，我们可以很快地得到满足条件的三元组。