数组中滑动窗口的中位数

在一些算法问题中，我们需要用到动态的滑动窗口来处理数据。例如在数组中，滑动窗口可以把一些元素聚合在一起并求它们的平均值、最大值或最小值。而在这些问题中，如果我们需要求解滑动窗口的中位数，代码实现起来就会相对复杂。本文将介绍如何使用两个堆来实现动态求解滑动窗口的中位数问题。

方法一：暴力法

暴力求解滑动窗口中的中位数很容易想到，我们直接在每个窗口中取出元素并排序，然后求出中位数即可。但是这种方法显然非常低效，时间复杂度为$O(nklogk)$，其中 n 是数组长度，k 是滑动窗口的大小。

方法二：利用两个堆

在计算数据流中的中位数时，我们可以使用两个堆解决问题。一个大根堆存储数组中较小的一半数字，另一个小根堆存储数组中较大的一半数字。当统计数据流的中位数时，如果两个堆的元素个数相同，则中位数为两个堆顶元素的平均值；否则，中位数为元素个数多的堆的堆顶元素。

我们同样可以使用这个思想来解决滑动窗口中的中位数问题。具体步骤如下：

1. 在每个窗口中，将元素分为两部分，并用两个堆分别存储较小和较大的部分数字。
2. 当添加一个元素时，我们需要决定将其添加到较小数字堆还是较大数字堆。我们将新元素与较小数字堆的堆顶元素进行比较，如果新元素比它大，则加入较大数字堆。否则，加入较小数字堆。
3. 每次移动窗口时，需要从堆中删除移出窗口的数字。同样的，我们需要将删除的数字与较小数字堆的堆顶元素进行比较。如果待删除的数字比堆顶元素大，则从较大数字堆中删除；否则，从较小数字堆中删除。
4. 在每个窗口结束时，我们都能够得到中位数，根据前面所述的规则求解即可。

下面是 Python 代码实现：

import heapq
from typing import List

class Solution:
    def medianSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[float]:
        n = len(nums)
        median = lambda small, big: (small[0] - big[0]) / 2.0 if len(small) == len(big) else float(small[0])
        small, big = [], []
        for i in range(n):
            if i >= k:
                if nums[i-k] in small:
                    small.remove(nums[i-k])
                else:
                    big.remove(-nums[i-k])
            if not small or nums[i] <= -small[0]:
                heapq.heappush(small, -nums[i])
            else:
                heapq.heappush(big, nums[i])
            if len(small) > len(big) + 1:
                heapq.heappush(big, -heapq.heappop(small))
            elif len(big) > len(small):
                heapq.heappush(small, -heapq.heappop(big))
            if i >= k - 1:
                res.append(median(small, big))
        return res

其中，我们使用 two-pointers 滑动窗口来控制窗口大小，使用小根堆 big 和大根堆 small 来存储较小数字和较大数字。函数 median 用于计算以两个堆为底的数据流中的中位数。

时间复杂度：$O(nlogk)$，其中 n 是数组长度，k 是窗口大小。在插入元素时，需要在两个堆中插入元素，时间复杂度为 $O(logk)$；移除元素时，同样需要在两个堆中移除元素，时间复杂度也是 $O(logk)$。由于每个元素最多会被插入、移除一次，因此总时间复杂度为 $O(nlogk)$。