如何找到多项式函数的实零点

多项式函数是数学中常见的一种函数形式，其实零点指的是函数图像与x轴交点的横坐标，也就是方程 $f(x)=0$ 的解。本文将介绍如何找到多项式函数的实零点。

方法一：求解根式

对于一次和二次多项式函数，我们可以通过求解形如 $ax+b=0$ 和 $ax^2+bx+c=0$ 的方程得到实零点。具体方法如下：

• 对于一次多项式函数 $f(x)=ax+b$，可以得到方程 $ax+b=0$，解得 $x=-\frac{b}{a}$；
• 对于二次多项式函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，可以使用求根公式（也叫二次公式）得到实零点：

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

需要注意的是，当 $b^2-4ac<0$ 时，方程没有实根。

方法二：牛顿迭代法

对于高次多项式函数，我们可以使用牛顿迭代法（Newton's method）来寻找实零点。其基本思路是从某个近似解开始，不断用函数值的导数来逼近实际的根。具体方法如下：

• 假设我们要求解方程 $f(x)=0$ 的根，首先随意选取一个初始近似解 $x_0$；
• 然后，我们使用初始解 $x_0$ 和 $f(x_0)$ 的导数 $f'(x_0)$ 来逼近实际根，得到一个更好的近似解 $x_1$：

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

• 接着，使用 $x_1$ 和 $f(x_1)$ 的导数 $f'(x_1)$ 来逼近实际根，得到一个更好的近似解 $x_2$：

$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$

• 如此迭代，直到得到满足精度要求的解。

具体实现可以采用代码模板，示例如下：

def newton(f, df, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
    """
    使用牛顿迭代法求解函数 f 的零点
    f: function, 输入函数
    df: function, 输入函数的导数
    x0: float, 迭代初始点
    eps: float, 迭代精度
    max_iters: int, 最大迭代次数
    return: float, 返回函数 f 的零点
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        x1 = x - f(x) / df(x)
        if abs(x1 - x) < eps:
            return x1
        x = x1
    raise Exception('迭代失败')

此处我们需要输入一个函数 $f$ 的定义和其导数 $f'$ 的定义，以及初始点 $x_0$ 和迭代精度 $eps$ 的设置，函数返回的是找到的根。

总结

本文主要介绍了两种寻找多项式函数实零点的方法：求解根式和牛顿迭代法。对于不同的多项式函数形式，我们可以采用不同的方法来求解。当然，这里仅仅是介绍了两种比较通用的方法，实际应用中还有很多其他更加高效的算法可以使用。